ANALISI MATEMATICA II
Anno accademico e docente
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- English course description
- Anno accademico
- 2022/2023
- Docente
- MICHELE MIRANDA
- Crediti formativi
- 12
- Periodo didattico
- Primo Semestre
- SSD
- MAT/05
Obiettivi formativi
- Scopo del corso è di fornire gli strumenti di base del calcolo differenziale e integrale per funzioni di piu' variabili reali, sia scalari che a valori vettoriali.
Ad esso si aggiunge lo studio delle equazioni differenziali ordinarie.
La capacita' principale che lo studente dovrà acquisire sara' quella di riconoscere la tipologia dei problemi studiati; ad esempio nel caso di equazioni differenziali dovrà riconoscere la tipologia di equazione, nel calcolo differenziale dovra saper distinguere tra varietà parametrizzate o implicite o cambiamenti di coordinate, nel calcolo integrale dovrà' distinguere tra integrali multipli, curvilinei e di superfici, e tra le successioni e serie la tipologia, in modo da saper determinare i metodi di risoluzione dei vari problemi che verranno proposti.
Le principali abilità che si dovranno raggiungere saranno quindi; capacità di saper modellizzare un problema mediante la sua formulazione matematica e
riuscire a risolvere il modello matematico descritto, sia mediante soluzione analitica completa, che eventualmente mediante l'utilizzo di strumenti informatici. Prerequisiti
- Corso di livello universitario di calcolo differenziale e integrale comprendente le nozioni di limite, derivata e integrale per funzioni reali di variabile reale. Teoria elementare delle matrici. Si ritengono quindi necessarie le conoscenze acquisite durante i corsi di Analisi Matematica 1 e di Geometria.
Contenuti del corso
- Preliminari: spazi normati e spazi Euclidei. Distanza e norma e definizione di limite e continuità per
funzioni tra spazi Euclidei. (2 ore)
Curve parametrizzate e curve regolari. Lunghezza di una curva e lunghezza di una curva regolare.
Decomposizione cinematica dell'accelerazione. (10 ore)
Elementi di topologia. Funzioni continue. Chiusi e aperti tramite funzioni continue. Continuita' delle funzioni,
mediante restrizioni a curve continue e coordinate polari.
Insiemi connessi per archi, insiemi limitati e insiemi compatti. Esistenza degli zeri e Teorema di Weierstrass.
Insiemi di livello e determinazione di massimi e minimi. (6 ore)
Calcolo differenziale; derivate parziali, differenziale e Teorema differenziale totale. Piano tangente,
retta normale, derivate direzionali e formule di derivazione per funzioni composte. Massima e minima
crescita e relazione tra gradiente e insieme di livello di una funzione; Teorema della funzione
implicita (o del Dini). (14 ore)
Elementi di geometria delle superfici parametrizzate regolari; piano tangente, retta normale. Teorema della
funzione implicita nella formulazione generale. Superfici di rotazione; sfera, cono, cilindro, toro ed ellissoide.
(8 ore)
Massimi e minimi per funzioni di piu' variabili. Massimi e minimi su insiemi compatti; metodo di
parametrizzazione, sostituzione del vincolo e dei moltiplicatori di Lagrange. (12 ore)
Diffeomorfismi e teorema di invertibilita' locale. Cambiamenti di coordinate; mappe lineari, coordinate polari,
coordinate cilindriche e coordinate sferiche. (8 ore)
Integrazione; integrali curvilinei e integrale multiplo. Definizione di insieme misurabile e condizioni necessarie
e sufficienti per la misurabilita'. Insieme semplice e formula di riduzione per il
calcolo degli integrali multipli. Cambiamento di coordinate. Definizione di funzione assolutamente integrabile
in senso generalizzato. Calcolo di volumi per solidi regolari e per solidi di rotazione. (18 ore)
Calcolo dell'area di una superficie parametrizzata e formule per il calcolo dell'area delle superfici cartesiane
e di rotazione; Integrale di superficie. Applicazione nello studio
dei campi vettoriali; campi conservativi, condizioni sufficienti per la conservativita' di un campo.
Teorema della divergenza e di Stokes e loro applicazioni per lo studio dei campi conservativi e il calcolo
dei flussi di campi attraverso superfici. (12 ore)
Successioni di funzioni; convergenza puntuale e uniforme e proprietà. Serie di funzioni;
convergenza puntuale, puntuale assoluta, uniforme, uniforme assoluta e totale e loro proprietà.
Serie di potenze e serie di Taylor. Serie di Fourier; proprietà e formula di Parseval. (16 ore)
Equazioni differenziali; Problema di Cauchy, teorema di esistenza e unicità.
Equazioni del primo e del secondo ordine; vibrazioni meccaniche. (14 ore) Metodi didattici
- Il corso è organizzato mediante lezioni teoriche e pratiche. Le lezioni teoriche sono tenute in classe e sono volte a presentare gli argomenti indicati nel programma cercando di tenere un livello di compromesso tra il rigore matematica (quindi cercando di presentare, quanto meno parzialmente, le dimostrazioni dei fatti esposti) e un livello applicativo (quindi più indirizzato verso la parte di risoluzione di problemi ed esercizi).
La parte pratica consiste in due differenti attività. Una prima viene svolta in aula ed è intesa come presentazione e svolgimento di esercizi che possano spiegare meglio la parte teorica e dare un'idea delle applicazioni.
Il corso fara' uso di GoogleClassRoom , codice della classe
xtsktyo Modalità di verifica dell'apprendimento
- L'esame di Analisi Matematica 2 e' suddiviso in due prove, da svolgersi in due giorni differenti; una prima prova scritta consiste nella risoluzioni di cinque esercizi ed e' della durata di 3 ore, mentre la seconda prova e' di carattere teorico e consiste di tre domande.
La prima prova si intende superata se la valutazione conseguita e' maggiore o uguale a 15/30 ed i possibili argomenti degli esercizi sono uno tra le seguenti possibilita';
1. (6 punti) Equazioni differenziali; equazioni del primo ordine (variabili separabili, lineari, omogenee, di Bernoulli) ed equazioni del secondo ordine (riconducibili ad equazioni del primo ordine, autonome, lineari a coefficienti costanti, omogenee e complete).
2. (6 punti) Calcolo differenziale; determinazione di rette e piani tangenti e normali a curve e superfici, sia definite mediante parametrizzazioni, sia in forma implicita.
3. (6 punti) Problemi di massimo e minimo; determinazioni di massimi e minimi locali e assoluti su insiemi compatti e non, classificazione di punti stazionari liberi.
4. (6 punti) Teoria dell'integrazione; integrali curvilinei, integrali doppi, tripli e di superficie, con applicazioni al calcolo di baricentri, momenti di inerzia, circuitazioni e flussi.
5. (6 punti) Successioni, serie di funzioni; serie di potenze, serie di Taylor, serie di Fourier.
Una prova scritta con valutazione superiore o uguale ai 15/30 ha validita' all'interno della stessa sessione; quindi, una prova superata a gennaio resta valida fino ad inizio marzo (ma non fino a giugno), una prova superata a giugno resta valida fino a fine luglio (ma non fino a settembre) ed una prova superata ad inizio settembre resta valida fino a fine settembre (ma non fino a dicembre).
Gli studenti che superano la prima prova possono accedere alla seconda prova, nella quale viene richiesta la risposta a tre domande di tipo teorico;
nello svolgimento di tali domande viene richiesta l'esposizione, quanto piu' esauriente degli argomenti. E' discrezione dello studente scegliere il grado di approfondimento di tale svolgimento, ivi compresa la presentazione di esempi e controesempi adeguati e la dimostrazione degli eventuali Teoremi citati. In linea di principio, una prima domanda vertera' sullo svolgimento della prova scritta, mentre le altre due domande verteranno sul programma del corso.
La valutazione finale tiene conto del risultato della prima prova e del grado di adeguatezza della seconda prova. Non necessariamente la valutazione finale è data dalla media delle valutazioni delle due prove.
In caso non venga superata la seconda prova, a seconda del livello di impreparazione, sara' discrezione del docente decidere se lo studente dovra' ripetere o meno anche la prima prova.
Durante le prove e' severamente vietato l'uso di testi e strumenti elettronici ivi compresi i telefonini. Testi di riferimento
- Il testo di riferimento per il corso si cosiglia:
M. Bramanti, C. D. Pagani, S. Salsa:
"Analisi Matematica 2",
Zanichelli, 2009.
Per gli approfondimenti ed esercizi si consigliano i seguenti testi:
S. Salsa, A. Squellati:
Esercizi di Matematica II,
Zanichelli, 2002.
B. Demidovic:
Esercizi e problemi di Analisi Matematica,
Editori Riuniti, 1999.
Oltre ai testi consigliati, vengono distribuite agli studenti delle dispense scritte dal docente. Nel dettaglio, sul sito del corso è reperibile il seguente materiale:
- Testo con soluzioni degli esami di Analisi Matematica 2 assegnati negli anni passati;
- Appunti per il Laboratorio MatLab;
- Eserciziario, consistente in una dispensa di esercizi con soluzioni riguardanti tutti gli argomenti toccati durante il corso;
- Appunti relativa ad una parte del corso che il docente ritiene non completamente coperta dal testo consigliato.
