MECCANICA RAZIONALE
Anno accademico e docente
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- English course description
- Anno accademico
- 2022/2023
- Docente
- VINCENZO COSCIA
- Crediti formativi
- 12
- Periodo didattico
- Primo Semestre
- SSD
- MAT/07
Obiettivi formativi
- Obiettivo del corso è far acquisire agli Studenti le nozioni e le metodologie di base della Meccanica Razionale, con particolare riferimento agli argomenti che trovano applicazione nel successivo corso di Scienza delle Costruzioni.
Le principali conoscenze che verranno acquisite riguardano
teoria dell’equivalenza tra sistemi di vettori applicati
elementi di algebra e di calcolo tensoriale, limitatamente ai tensori doppi euclidei
cinematica dei sistemi materiali vincolati, con particolare riferimento alla cinematica rigida
cinematica della deformazione
geometria delle masse
dinamica generale di sistemi costituiti da punti materiali e/o corpi rigidi, semplici e articolati
statica di sistemi materiali rigidi, articolati e deformabili (travi e fili)
stereomeccanica dei sistemi a vincoli ideali e leggi fenomenologiche dell’attrito
equilibrio e stabilità
Al termine del corso lo Studente avrà appreso a
ridurre un sistema qualsiasi di forze
descrivere la cinematica di sistemi a vincoli olonomi (punti materiali, corpi rigidi) e comporre moti rigidi
riconoscere i caratteri delle deformazioni omogenee, decomporre una deformazione omogenea qualsiasi, costruire una deformazione omogenea assegnati i suoi elementi caratteristici
descrivere il moto di un continuo deformabile in rappresentazione materiale e spaziale, calcolare le caratteristiche cinematiche nelle diverse rappresentazioni
determinare baricentri e tensori d'inerzia di figure materiali prevalentemente piane
formulare problemi di dinamica di sistemi rigidi e articolati a vincoli olonomi, utilizzare le leggi di bilancio e gli integrali primi del moto
determinare le condizioni di equilibrio di sistemi materiali rigidi, articolati e deformabili (travi e fili), con particolare riferimento alla statica dei sistemi a vincoli bilaterali, verificare la sussistenza dell’equilibrio nelle posizioni ordinarie e di confine in caso di vincoli unilaterali, calcolare le reazioni vincolari all’equilibrio
studiare la stabilità dell'equilibrio, calcolare le pulsazioni dei piccoli moti attorno alle configurazioni di equilibrio stabile ed i modi normali di oscillazione, calcolare reazioni vincolari fuori dall’equilibrio ed i corrispondenti cimenti dinamici sui dispositivi vincolari, formulare problemi in presenza di vincoli scabri Prerequisiti
- Allo Studente che frequenta il corso di Meccanica Razionale è indispensabile una conoscenza operativa dell’algebra lineare e della geometria analitica, nonché del calcolo differenziale e integrale.
Contenuti del corso
- Il corso prevede 120 ore di didattica frontale, suddivise senza soluzione di continuità tra “teoria”, momenti cioè nei quali vengono introdotti ed illustrati gli argomenti del corso, ed “esercitazioni”, consistenti in esercizi risolti nel dettaglio.
Spazi affini. Vettori applicati e loro proprietà. Momento di un sistema di vettori applicati rispetto ad un polo. Coppie. Equivalenza tra sistemi di vettori applicati. Riduzione di un assegnato sistema di vettori applicati ad uno equivalente. Asse centrale. Centro di sistemi di vettori applicati paralleli a risultante non nullo (ore 10).
Sistemi materiali vincolati. Vincoli e loro classificazione. Vincoli olonomi, grado di libertà e coordinate lagrangiane. Computo dei vincoli. Sistemi cinematicamente determinati e indeterminati (ore 10).
Trasformazioni lineari. Campi. Tensori euclidei. Elementi di algebra tensoriale. Teorema di decomposizione polare. Elementi di calcolo tensoriale (ore 10).
Sistemi materiali deformabili. Cinematica della deformazione. Deformazioni omogenee. Moto. Rappresentazione euleriana e lagrangiana del moto (ore 12).
Cinematica dei moti rigidi. Moti rigidi particolari (traslatorio, rotatorio, piano, sferico). Atto di moto rigido e teorema di Mozzi. Cinematica relativa. Principio dei moti relativi e teorema di Coriolis. Composizione di moti rigidi (ore 10).
Baricentri di sistemi materiali discreti e continui. Proprietà di ubicazione del baricentro. Momento d'inerzia di un sistema materiale rispetto ad un asse. Determinazione del momento d'inerzia rispetto ad una retta qualsiasi. Prodotti d'inerzia. Ellissoide d'inerzia. Terne principali d'inerzie e proprietà di simmetria materiale. Teorema di Huygens. Proprietà di trasformazione dei prodotti d'inerzia (ore 10).
Assiomi della dinamica. Principio di indifferenza materiale. Grandezze e funzioni oggettive. Legge di forza. Equazione fondamentale della dinamica del punto materiale libero. Soluzioni particolari (forza costante, forza centrale, forza elastica, oscillazioni libere, smorzate e forzate, fenomeno della risonanza). Statica del punto materiale libero. Dinamica e statica del punto materiale in un riferimento non inerziale. Dinamica e statica del punto materiale vincolato. Assioma delle reazioni vincolari. Vincoli lisci (ore 12).
Dinamica dei sistemi materiali vincolati. Equazioni cardinali ed equazioni di bilancio. Dinamica generale del corpo rigido. Moto del baricentro e moto attorno al baricentro. Equazioni dinamiche di Eulero. Moti alla Poinsot. Cinematica delle masse e equazione di d’Alembert e Lagrange. Teorema di Koenig. Potenziale di un sistema di forze conservative. Integrali primi del moto (ore 12).
Condizioni necessarie per l'equilibrio di un sistema materiale vincolato. Equazioni cardinali della statica. Calcolo delle reazioni vincolari all'equilibrio. Sistemi staticamente determinati e indeterminati. Statica di sistemi rigidi articolati. Equilibrio della trave e dei fili (ore 10).
Meccanica dei sistemi olonomi a vincoli ideali. Equazione di d'Alembert-Lagrange. Componenti lagrangiane delle forze attive e delle forze d'inerzia. Espressione lagrangiana dell'energia cinetica. Equazioni di Lagrange. Funzione di Lagrange. Condizioni necessarie e sufficienti per l'equilibrio di un sistema olonomo. Principio dei lavori virtuali (ore 12).
Stabilità dell'equilibrio. Teorema di Lagrange-Dirichlet. Instabilità dell'equilibrio e criterio di Liapunov-Cetaev. Piccoli moti di un sistema olonomo attorno ad una configurazione di equilibrio stabile. Determinazione delle reazioni vincolari fuori dall'equilibrio e dei cimenti dinamici sui dispositivi vincolari. Meccanica dei sistemi in presenza di attrito (ore 12). Metodi didattici
- La didattica è basata su lezioni frontali. Queste comprendono sia la trattazione di tutti gli argomenti sia lo svolgimento dettagliato di esempi ed esercizi e la correzione di quelli proposti (homeworks).
Modalità di verifica dell'apprendimento
- L'esame si articola in una prova scritta ed in una prova orale. Il superamento della prova scritta è condizione necessaria per accedere alla prova orale. La prova scritta consiste nella risoluzione di un problema articolato in più punti riguardante gli argomenti svolti a lezione. In dettaglio:
scrivere le equazioni indefinite del moto di un sistema meccanico, generalmente a vincoli olonomi, bilaterali e lisci;
determinare le configurazioni di equilibrio e/o classi particolari di moti;
studiare le proprietà di stabilità delle configurazioni di equilibrio;
calcolare le pulsazioni dei piccoli moti attorno alle configurazioni di equilibrio stabile e, eventualmente, determinare i modi normali;
calcolare reazioni vincolari, esterne ed interne, all’equilibrio ed in condizioni dinamiche.
La prova scritta si intende superata con un voto pari almeno a 18/30 ma è consentito accedere alla prova orale anche con un voto alla prova scritta compreso tra 15/30 e 17/30. La prova orale tende all'accertamento di una conoscenza operativa e non superficiale della materia e della capacità di affrontare e risolvere esercizi su tutti gli argomenti del corso.
Il voto finale è la media dei voti conseguiti alla prova scritta ed a quella orale. Il mancato superamento della prova orale comporta di doversi ripresentare a sostenere anche la prova scritta. Testi di riferimento
- Per la teoria:
Appunti forniti dal docente
V. Coscia, Meccanica Razionale, Pitagora, Bologna 1999
E’ possibile approfondire la parte di calcolo tensoriale e cinematica della deformazione su:
M.E. Gurtin, An Introduction to Continuum Mechanics, Academic Press, New York, 1981
Per gli esercizi:
Esercizi proposti dal docente
Bampi F., Benati M. Morro A., Problemi di Meccanica Razionale, ECIG, Genova 1984
D. Graffi, Esercizi di Meccanica Razionale, Patron, Bologna, 1970
