ANALISI MATEMATICA I.A
Anno accademico e docente
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- English course description
- Anno accademico
- 2017/2018
- Docente
- DAMIANO FOSCHI
- Crediti formativi
- 6
- Periodo didattico
- Primo semestre (primi anni)
- SSD
- MAT/05
Obiettivi formativi
- Scopo del corso è quello di fornire agli studenti gli strumenti di base dell'analisi matematica, in particolare per quanto riguarda il calcolo differenziale per funzioni di una variabile reale e le sue applicazioni alla risoluzione di problemi basati su modelli matematici.
Al termine del corso gli studenti dovranno conoscere i contenuti teorici e le metodologie proprie dell'analisi matematica.
Gli studenti dovranno inoltre sapere applicare in modo consapevole i concetti appresi alla risoluzione di problemi di vario genere, anche di tipo applicativo, e individuare l'approccio più appropriato alla risoluzione dei problemi proposti.
Gli studenti dovranno acquisire padronanza del linguaggio matematico e del metodo logico-deduttivo, mostrando capacità di argomentare le strategie risolutive dei problemi in modo logico, efficace, pertinente e sintetico. Prerequisiti
- Buona conoscenza di:
elementi di base della teoria degli insiemi
proprietà elementari dei numeri Naturali, Interi e Razionali
risoluzione di equazioni e disequazioni di primo e secondo grado
algebra dei polinomi: fattorizzazione di un polinomio date le sue radici, calcolo della divisione tra polinomi
teorema di Pitagora e teoremi di Euclide per i triangoli rettangoli
trigonometria: definizione di seno, coseno, tangente; formule di addizione per seno e coseno
proprietà elementari delle funzioni esponenziali e logaritmiche
geometria analitica nel piano (rette, parabole, circonferenze, ellissi, iperboli). Contenuti del corso
- 1) Numeri naturali, principio di induzione.
2) Proprietà algebriche dei campi numerici, numeri razionali.
3) Manipolazione di sommatorie. Progressioni aritmetiche e progressioni geometriche. Somme telescopiche.
4) Elementi di calcolo combinatorio. Formula del binomio di Newton.
5) Allineamenti decimali, numeri reali.
6) Ordinamento della retta reale, estremo superiore e estremo inferiore, proprietà di completezza.
7) Disuguaglianza di Bernoulli. Relazione tra media aritmetica e media geometrica.
8) Il numero di Nepero.
9) Definizione di potenze ad esponente intero, razionale, reale, radici ennesime, logaritmi.
10) Funzioni: dominio, codominio, grafico, immagine, controimmagine, iniettive, suriettive, biettive. Restrizioni e prolungamenti.
11) Composizione di funzioni. Invertibilità. Funzioni inverse.
12) Limitatezza. Rapporti incrementali, monotonia e convessità. Simmetrie, periodicità.
13) Funzioni elementari: potenze ad esponente intero, radicali, potenze ad esponente reale.
14) Funzioni elementari: esponenziali e logaritmi. Funzioni iperboliche e loro inverse.
15) Funzioni trigonometriche e loro inverse. Formule trigonometriche principali.
16) Valore assoluto, parte positiva e parte negativa; gradino, segno, parte intera, mantissa.
17) Manipolazione di grafici: composizione con traslazioni, omotetie, simmetrie.
18) Struttura euclidea dello spazio R^n: norma, prodotto scalare, disuguaglianza triangolare.
19) Struttura metrica e topologica di R^n: distanza, intorni sferici, aperti, chiusi, frontiera. Retta reale estesa. Intervalli.
20) Punti di accumulazione, punti isolati. Proprietà valide localmente e definitivamente.
21) Definizione di limite con intorni e con epsilon-delta. Definizione di continuità.
22) Unicità del limite. Limiti di restrizioni. Limiti destri, sinistri, per eccesso, per difetto.
23) Proprietà di confronto e di permanenza del segno. Limiti di funzioni monotone. Limite superiore e inferiore.
24) Relazioni asintotiche.
25) Infinitesimi e infiniti. Proprietà algebriche dei limiti. Forme indeterminate.
26) Limiti di funzioni razionali.
27) Limiti e continuità di funzioni composte. Metodo di sostituzione nel calcolo dei limiti.
28) Continuità e limiti notevoli delle funzioni elementari.
29) Classificazione dei punti di discontinuità.
30) Insiemi compatti. Teorema di Bolzano-Weierstrass. Caratterizzazione dei compatti di R^n. Teorema di Weierstrass.
31) Funzioni continue su intervalli: teorema dello zero, teorema dei valori intermedi.
32) Approssimazione del primo ordine, retta tangente, derivata.
33) Differenziabilità implica continuità. Derivate di somme, prodotti, rapporti, polinomi.
34) Derivata delle funzioni elementari.
35) Derivata di funzioni composte.
36) Derivata di funzioni inverse.
37) Punti stazionari. Teorema di Fermat. Teorema di Rolle.
38) Teorema di Lagrange. Derivata prima, intervalli di monotonia, punti di massimo o minimo locale.
39) Problemi di ottimizzazione.
40) Convessità e monotonia della derivata prima. Derivata seconda, intervalli di convessità, punti di flesso.
41) Teorema di Cauchy. Regola di De L'Hopital.
42) Approssimazione di ordine superiore.
43) Polinomio di Taylor.
44) Calcolo di limiti usando l'approssimazione di Taylor.
45) Stime per il resto dell'approssimazione di Taylor. Problemi di approssimazione.
46) Asintoti verticali, orizzontali, obliqui. Punti angolosi, cuspidi.
47) Studio del grafico di funzioni.
48) Esercizi di riepilogo. Metodi didattici
- Il corso prevede 48 ore di lezione in aula con presentazione alla lavagna degli aspetti teorici, delle applicazioni e di esercizi.
Vi saranno inoltre appuntamenti periodici di tutorato (due ore alla settimana circa) con svolgimento di esercizi e ripasso degli argomenti svolti. Modalità di verifica dell'apprendimento
- La verifica dell'apprendimento dei contenuti del corso avviene tramite un esame composto da una prova scritta e un colloquio orale.
- Nella prova scritta allo studente è richiesto di risolvere alcuni problemi ed esercizi relativi agli argomenti svolti. Il tempo previsto per la prova scritta è di circa 3 ore. Non è consentito consultare testi, utilizzare PC, tablet o smartphone. Lo studente può comunque consultare un foglio (A4) da lui manoscritto in cui può appuntarsi ciò che vuole, tale foglio va consegnato insieme allo svolgimento della prova. Lo studente può utilizzare calcolatrici scientifiche tascabili purché non abbiamo capacità grafiche e non siano programmabili. Allo svolgimento della prova scritta è assegnato un punteggio espresso in trentesimi. Per superare la prova e poter accedere al colloquio orale è necessario ottenere un punteggio di almeno 15 punti.
- Nel colloquio orale allo studente sarà richiesto di presentare qualche aspetto di contenuti svolti durante il corso, illustrando alcune definizioni, esempi, proprietà, formule, teoremi, dimostrazioni, o applicazioni. Più che la conoscenza mnemonica degli argomenti, si vuole valutare la comprensione logica dei concetti, la precisione e il rigore del linguaggio matematico usato per descriverli e la capacità di cogliere la relazione tra gli aspetti astratti e le applicazioni concrete. Il tempo previsto per la prova orale è di circa 30 minuti. Se l'esito del colloquio non è ritenuto sufficiente lo studente potrà riprovarlo in una data successiva senza necessariamente dover ripetere la prova scritta.
Il voto finale, espresso in trentesimi, viene proposto al termine del colloquio orale e terrà conto di tutti gli elementi che permettono al docente di valutare la preparazione dello studente: la partecipazione attiva alle lezioni e/o al tutorato, la correttezza e completezza dello svolgimento della prova scritta, la qualità dell'esposizione nel colloquio orale.
Il superamento dell'esame è prova di aver acquisito le conoscenze e le abilità specificate negli obiettivi formativi dell'insegnamento. Testi di riferimento
- M.Bertsch, R.Dal Passo, L.Giacomelli - "Analisi Matematica" -McGraw-Hill (ISBN978-88-386-6234-8).
M.Bramanti, C.D.Pagani,S.Salsa-"Analisi matematica 1" con elementi di geometria e algebra lineare - Zanichelli (ISBN 978-88-08-25421-4)
Esercizi: Marco Bramanti Esercitazioni di Analisi Matematica I Società Editrice ESCULAPIO ISBN 978-88-7488-444-5
