ANALISI MATEMATICA I.B
Anno accademico e docente
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- English course description
- Anno accademico
- 2017/2018
- Docente
- DAMIANO FOSCHI
- Crediti formativi
- 6
- Periodo didattico
- Secondo Semestre
- SSD
- MAT/05
Obiettivi formativi
- Scopo del corso è quello di fornire agli studenti gli strumenti di base dell'analisi matematica, in particolare per quanto riguarda il calcolo integrale per funzioni di una o più variabili reali e le sue applicazioni alla risoluzione di problemi basati su modelli matematici.
Al termine del corso gli studenti dovranno conoscere i contenuti teorici e le metodologie proprie dell'analisi matematica.
Gli studenti dovranno inoltre sapere applicare in modo consapevole i concetti appresi alla risoluzione di problemi di vario genere, anche di tipo applicativo, e individuare l'approccio più appropriato alla risoluzione dei problemi proposti.
Gli studenti dovranno acquisire padronanza del linguaggio matematico e del metodo logico-deduttivo, mostrando capacità di argomentare le strategie risolutive dei problemi in modo logico, efficace, pertinente e sintetico. Prerequisiti
- E' richiesta una completa comprensione di tutti contenuti del corso di Analisi Matematica 1.A
Contenuti del corso
- 1) Algebra dei numeri complessi.
2) Geometria dei numeri complessi.
3) Esponenziale complesso.
4) Radici ennesime e logaritmi in campo complesso.
5) Fattorizzazione di polinomi in campo complesso.
6) Limiti e derivate di funzioni a valori complessi.
7) Definizione dell'integrale di Riemann, suddivisioni, somme inferiori e superiori.
8) Funzioni integrabili. Significato geometrico dell'integrale.
9) Criteri di integrabilità. Integrabilità di funzioni monotone e di funzioni continue.
10) Proprietà di monotonia, additività e linearità dell'integrale di Riemann.
11) Valore medio integrale. Teorema del valore medio per funzioni continue. Funzioni integrali.
12) Primitive e integrale indefinito.
13) Teorema fondamentale del calcolo integrale.
14) Integrazione per riconoscimento diretto.
15) Integrazione per parti.
16) Integrazione per sostituzione diretta e inversa.
17) Primitive di funzioni razionali semplici.
18) Integrazione di funzioni razionali.
19) Alcune sostituzioni utili nel calcolo delle primitive.
20) Che cos'è un'equazione differenziale ordinaria e che cosa è una soluzione.
21) Funzioni lipschitziane. Unicità della soluzione locale.
22) Equazioni differenziali a variabili separabili. Equazioni differenziali lineari del primo ordine omogenee.
23) Equazioni differenziali lineari del primo ordine non omogenee.
24) Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti del secondo ordine omogenee.
25) Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti del secondo ordine non omogenee.
26) Metodi ad hoc per equazioni non omogenee.
27) Alcuni esempi di classi di equazioni integrabili.
28) Funzioni di più variabili, esempi.
29) Richiami di calcolo vettoriale.
30) Calcolo di limiti di funzioni di più variabili.
31) Derivate parziali.
32) Approssimazione del primo ordine e differenziabilità.
33) Vettori e piano tangente al grafico di una funzione di più variabili.
34) Teorema del differenziale totale.
35) Gradiente, divergenza, rotore. Matrice Jacobiana.
36) Derivate di funzioni composte in più variabili.
37) Integrale di Riemann in R^n.
38) Misura di Peano-Jordan.
39) Integrale di Riemann su insiemi misurabili secondo Peano-Jordan.
40) Integrali multipli come integrali iterati.
41) Integrazione per fili, per strati.
42) Cambio di variabile negli integrali multipli.
43) Coordinate polari, cilindriche, sferiche.
44) Solidi di rotazione e teorema di Guldino per i volumi.
45) Calcolo di volumi, baricentri, momenti di solidi.
46) Integrali in senso generalizzato.
47) Criteri di convergenza per integrali generalizzati.
48) Esercizi di riepilogo. Metodi didattici
- Il corso prevede 48 ore di lezione in aula con presentazione alla lavagna degli aspetti teorici, delle applicazioni e di esercizi.
Vi saranno inoltre appuntamenti periodici di tutorato (due ore alla settimana circa) con svolgimento di esercizi e ripasso degli argomenti svolti. Modalità di verifica dell'apprendimento
- La verifica dell'apprendimento dei contenuti del corso avviene tramite un esame composto da una prova scritta e un colloquio orale.
- Nella prova scritta allo studente è richiesto di risolvere alcuni problemi ed esercizi relativi agli argomenti svolti. Il tempo previsto per la prova scritta è di circa 3 ore. Non è consentito consultare testi, utilizzare PC, tablet o smartphone. Lo studente può comunque consultare un foglio (A4) da lui manoscritto in cui può appuntarsi ciò che vuole, tale foglio va consegnato insieme allo svolgimento della prova. Lo studente può utilizzare calcolatrici scientifiche tascabili purché non abbiamo capacità grafiche e non siano programmabili. Allo svolgimento della prova scritta è assegnato un punteggio espresso in trentesimi. Per superare la prova e poter accedere al colloquio orale è necessario ottenere un punteggio di almeno 15 punti.
- Nel colloquio orale allo studente sarà richiesto di presentare qualche aspetto di contenuti svolti durante il corso, illustrando alcune definizioni, esempi, proprietà, formule, teoremi, dimostrazioni, o applicazioni. Più che la conoscenza mnemonica degli argomenti, si vuole valutare la comprensione logica dei concetti, la precisione e il rigore del linguaggio matematico usato per descriverli e la capacità di cogliere la relazione tra gli aspetti astratti e le applicazioni concrete. Il tempo previsto per la prova orale è di circa 30 minuti. Se l'esito del colloquio non è ritenuto sufficiente lo studente potrà riprovarlo in una data successiva senza necessariamente dover ripetere la prova scritta.
Il voto finale, espresso in trentesimi, viene proposto al termine del colloquio orale e terrà conto di tutti gli elementi che permettono al docente di valutare la preparazione dello studente: la partecipazione attiva alle lezioni e/o al tutorato, la correttezza e completezza dello svolgimento della prova scritta, la qualità dell'esposizione nel colloquio orale.
Il superamento dell'esame è prova di aver acquisito le conoscenze e le abilità specificate negli obiettivi formativi dell'insegnamento. Testi di riferimento
- M.Bertsch, R.Dal Passo, L.Giacomelli - "Analisi Matematica" -McGraw-Hill (ISBN978-88-386-6234-8).
M.Bramanti, C.D.Pagani,S.Salsa-"Analisi matematica 1" con elementi di geometria e algebra lineare - Zanichelli (ISBN 978-88-08-25421-4)
Esercizi: Marco Bramanti Esercitazioni di Analisi Matematica I Società Editrice ESCULAPIO ISBN 978-88-7488-444-5
