ANALISI MATEMATICA II
Anno accademico e docente
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- English course description
- Anno accademico
- 2018/2019
- Docente
- MASSIMILIANO DANIELE ROSINI
- Crediti formativi
- 6
- Periodo didattico
- Primo Semestre
- SSD
- MAT/05
Obiettivi formativi
- Il corso prosegue il percorso di formazione ed approfondimento sugli strumenti di calcolo della teoria dell'analisi matematica iniziato nel corso di Analisi Matematica I.B.
L'obiettivo principale del corso consiste nell'insegnare agli studenti a comprendere ed utilizzare le tecniche elementari del calcolo differenziale ed integrale per funzioni di più variabili e ad affrontare lo studio di successioni e serie di funzioni. L'acquisizione di questi strumenti matematici è ritenuta indispensabile per poter affrontare proficuamente i successivi insegnamenti di carattere tecnico.
Le principali conoscenze acquisite saranno:
* teoria delle serie numeriche e dei vari criteri di convergenza;
* teoria della convergenza puntuale ed uniforme, proprietà di passaggio al limite per successioni e serie di funzioni, in particolare serie di potenze, serie di Taylor e serie di Fourier;
* ricerca di punti critici e estremali;
* geometria differenziale elementare per curve e superfici regolari nel piano e nello spazio;
* definizione e metodi di calcolo per integrali curvilinei e integrali di superficie, applicazioni dei teoremi di Gauss-Green e di Stokes;
* teoria introduttiva alla misura ed all'integrale di Lebesgue, sue proprietà di passaggio al limite.
Le principali abilità (ossia la capacità di applicare le conoscenze acquisite) saranno quelle di saper:
* studiare la convergenza puntuale ed uniforme per successioni e serie di funzioni, in particolare serie di potenze;
* calcolare la serie di Taylor di una funzione differenziabile e la serie di Fourier di una funzione periodica;
* determinare e classificare i punti critici liberi e vincolati di una funzione di più variabili reali;
* determinare i valori estremali di una funzione di più variabili su un dato dominio;
* determinare i versori tangente, normale e binormale, i valori di curvatura e torsione di una curva regolare parametrizzata;
* determinare il piano tangente ed il versore normale di una superficie regolare parametrizzata;
* calcolare integrali curvilinei di prima e seconda specie, integrali di superficie e integrali di flusso. Prerequisiti
- Tutti i contenuti del corso di Analisi Matematica I.B sono propedeutici. Tra cui in particolare:
* Funzioni elementari.
* Calcolo differenziale ed integrale in una o più variabili.
Inoltre è richiesta la conoscenza di:
* Algebra lineare elementare: applicazioni lineari, matrici, determinanti, prodotto vettoriale e prodotto scalare.
* Geometria elementare: rette, piani, coniche. Contenuti del corso
- 1) Successioni e serie numeriche, convergenti, divergenti, irregolari.
2) Serie geometriche. Serie Telescopiche.
3) Serie a termini non negativi: criteri del confronto semplice e asintotico.
4) Criteri della radice ennesima e del rapporto.
5) Confronto tra serie e integrale. Serie armoniche generalizzate.
6) Convergenza assoluta. Serie a segno alterno e criterio di Leibniz.
7) Successioni di funzioni.
8) Convergenza uniforme.
9) Proprietà della convergenza uniforme per successioni di funzioni.
10) Serie di funzioni. Convergenza totale e/o uniforme per serie di funzioni.
11) Proprietà della convergenza uniforme per serie di funzioni.
12) Serie di potenze e loro dominio di convergenza.
13) Determinazione del raggio di convergenza.
14) Serie di Taylor. Funzioni sviluppabili in serie di Taylor.
15) Applicazioni della serie di Taylor nella risoluzione di equazioni differenziali e nel calcolo di integrali.
16) Problema di Cauchy per equazioni differenziali ordinarie in forma normale, formulazione integrale del P.d.C., iterate di Picard.
17) Teorema di esistenza per soluzioni del problema di Cauchy per equazioni differenziali ordinarie in forma normale nell'ipotesi di
Lipschitzianità.
18) Massimi e minimi locali (non vincolati) di funzioni di più variabili. Punti critici.
19) Matrice Hessiana ed approssimazione del secondo ordine di funzioni di più variabili.
Classificazione dei punti critici.
20) Funzioni implicite e teorema del Dini.
21) Punti critici ed estremali vincolati.
22) Metodo dei moltiplicatori di Lagrange.
23) Prodotto scalare e norma L^2. Approssimazione dei minimi quadrati.
24) Polinomi trigonometrici. Definizione della serie di Fourier. Disuguaglianza di Bessel.
25) Calcolo della serie di Fourier di segnali ad onda quadra, triangolare, a dente di sega.
26) Funzioni regolari a tratti. Convoluzioni di funzioni periodiche. Nuclei di Dirichlet e Fejer.
27) Teorema di convergenza puntuale per la serie di Fourier di funzioni regolari a tratti.
28) Curve parametrizzate in R^n. Curve regolari. Retta e versore tangente a una curva.
29) Parametrizzazioni equivalenti.
30) Lunghezza di una curva. Parametrizzazione per lunghezza d'arco.
31) Integrali curvilinei di prima specie.
32) Campi vettoriali e forme differenziali.
33) Integrali curvilinei di seconda specie.
34) Campi conservativi e forme esatte. Campi irrotazionali e forme chiuse.
35) Calcolo di potenziali. Domini semplicemente connessi.
36) Curvatura e torsione. Versori tangente, normale e binormale di curve in nello spazio R^3.
37) Formule ed equazioni per il sistema di riferimeto mobile di Frenet.
38) Superfici parametrizzate nello spazio R^3. Piano tangente e versore normale.
39) Elemento di superficie. Integrali di superficie.
40) Area di superfici di rotazione. Teorema di Guldino.
41) Superfici orientate. Flusso di un campo vettoriale.
42) Domini semplici, domini regolari a tratti nel piano R^2 e nello spazio R^3.
43) Formule di Gauss-Green, teoremi della divergenza e del rotore nel piano R^2.
44) Teorema della divergenza e teorema di Stokes nello spazio R^3.
45) Insiemi di misura nulla secondo Lebesgue, approssimazione con funzioni semplici a gradini.
46) Integrale di Lebesgue e misura di Lebesgue (in forma quasi assiomatica).
47) Teoremi di passaggio al limite per l'integrale di Lebesgue. Metodi didattici
- Lezioni in aula con presentazione degli aspetti teorici ed applicativi sia sulla lavagna che con il proiettore. Svolgimento di esercizi.
Modalità di verifica dell'apprendimento
- La verifica dell'apprendimento dei contenuti del corso avviene tramite un esame composto da due prove scritte. Lo studente deve presentarsi munito di un documento di riconoscimento. Non è consentito consultare testi o appunti, utilizzare calcolatrici, PC, tablet o smartphone.
- Nella prima prova allo studente è richiesto di risolvere alcuni problemi ed esercizi relativi agli argomenti svolti. Il tempo previsto per la prova scritta è di 2 ore. Allo svolgimento della prima prova scritta è assegnato un punteggio espresso in trentesimi che varia tra 0 e 25. Per poter accedere alla seconda prova è necessario ottenere un punteggio di almeno 15 punti nella prima prova. Il punteggio della prima prova è considerato valido per tutta la durata della sessione. Nel caso lo studente sostenga positivamente più prime prove durante la stessa sessione, verrà considerata quella con punteggio maggiore.
- Nella seconda prova allo studente sarà richiesto di presentare qualche aspetto di contenuti svolti durante il corso, illustrando alcune definizioni, esempi, proprietà, formule, teoremi, dimostrazioni, o applicazioni. Più che la conoscenza mnemonica degli argomenti, si vuole valutare la comprensione logica dei concetti, la precisione ed il rigore del linguaggio matematico usato per descriverli e la capacità di cogliere la relazione tra gli aspetti astratti e le applicazioni concrete. Il tempo previsto per la seconda prova è 1 ora. Allo svolgimento della seconda prova scritta è assegnato un punteggio espresso in trentesimi che varia tra 0 e 5. Un esito insufficiente della seconda prova non annulla il punteggio della prima prova.
Il voto finale, espresso in trentesimi, terrà conto della somma dei punteggi ottenuti nelle due prove scritte e della partecipazione attiva alle lezioni ed al tutorato.
Il superamento dell'esame è prova di aver acquisito le conoscenze e le abilità specificate negli obiettivi formativi dell'insegnamento. Testi di riferimento
- Testo di riferimento:
M. Bramanti, C. D. Pagani, S. Salsa, Calcolo infinitesimale e algebra lineare
Testi consigliati per approfondimento:
V. Barutello, M. Conti, D.L. Ferrario, S. Terracini, G. Verzini: Analisi Matematica. Con elementi di geometria e calcolo vettoriale: 2 (Apogeo)
M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli: Analisi Matematica (Mc Graw Hill)
G. De Marco: Analisi Matematica II (Zanichelli )
G. De Marco: Esercizi di analisi Matematica II (Zanichelli)
E. Giusti: Analisi Matematica II (Boringhieri)
E. Giusti: Esercizi e complementi di Analisi Matematica II (Boringhieri)
E.H. Lieb, M. Loss ; Analysis (American Mathematical Society)
W. Rudin: Principi di Analisi Matematica (Mc Graw Hill)
S. Salsa, A. Squellati: Esercizi di Analisi Matematica II (Zanichelli)
E. Stein, R. Shakarchi: Real Analysis: Measure Theory, Integration, and Hilbert Spaces (Princeton University Press)
