Programma a.a. 2009-10

ANALISI MATEMATICA III

A.A. 2008/2009

DOCENTE: NICOLA TADDIA

Misura di Lebesgue in Rⁿ

Definizione di misura per i sottoinsiemi di Rⁿ  : subadditività e monotonia della misura*. Definizione di misurabilità per insiemi. Teorema fondamentale sulla misura di Lebesgue: additività numerabile sui disgiunti, “continuità” rispetto all’inclusione*. Insiemi di misura zero. Caratterizzazione degli insiemi misurabili*. Funzioni misurabili e proprietà fondamentali. Funzioni semplici e approssimazione “standard” di una funzione misurabile*.

Integrale di Lebesgue

Richiami sull’integrale di Riemann per le funzioni monotone. Definizione dell’integrale di  Lebesgue per funzioni misurabili non negative su insiemi misurabili. Parte positiva e parte negativa. Funzioni sommabili. Sommabilità delle funzioni limitate su insiemi di misura finita, criterio del confronto.Teorema della convergenza monotona di Levi*. Linearità dell’integrale di funzioni sommabili,  Lemma di Fatou, Teorema della convergenza dominata di Lebesgue*. Disuguaglianza di Chebisev*. Misura del sottografico di una funzione sommabile. Confronto con l’integrale di Riemann e l’integrale generalizzato di Riemann.  Continuità e derivabilità degli integrali dipendenti da parametri*. Gli spazi L¹ e  L² e loro completezza*. Applicazione notevole: la trasformata di Plancherel- Fourier in L² *. Sezioni e Teorema di Fubini, insiemi normali e formule di riduzione. Criterio di sommabilità di Tonelli*. Convoluzioni di funzioni sommabili.

Teorema delle funzioni implicite

Teorema delle funzioni implicite in due dimensioni *. Interpretazione geometrica. Estensione del teorema delle funzioni implicite a dimensione superiori. Il teorema d’invertibilità locale.

Traiettorie e formule di Gauss-Green.

Definizione di traiettoria, vettore derivato, traiettorie regolari semplici chiuse, integrale di una funzione continua lungo una traiettoria, orientazione delle traiettorie. Aperti regolari del piano, versore normale esterno, orientazione delle frontiere degli aperti regolari. Integrale orientato di un campo vettoriale lungo una traiettoria e sulla frontiera di un aperto regolare.

Teorema fondamentale: l’integrale orientato di un gradiente. Formule di Gauss-Green nel piano*. Applicazioni:  flusso uscente di un campo e teorema della divergenza,  circuitazione di un campo lungo una frontiera e  teorema di Green.

Superfici regolari e teorema di Stokes

Definizione di superficie regolare parametrizzata, vettore normale, identità di Lagrange, spazio tangente. Parametrizzazione “standard” della sfera. Integrale di una funzione continua su una superficie regolare. Aperti regolari dello spazio ed estensione del teorema della divergenza. Il Lemma di Gauss per i campi centrali a simmetria sferica*. Funzioni armoniche, teorema di cambiamento di variabile per integrali su sfere, teorema della media per le funzioni armoniche* e teorema di Newton. Teorema di Stokes*

*= Teoremi tra i quali scegliere due dimostrazioni da portare all’esame.

Ferrara, 23 Novembre 2009                                                           Prof. Nicola Taddia