METODI MATEMATICI PER L'INGEGNERIA
Anno accademico e docente
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- English course description
- Anno accademico
- 2022/2023
- Docente
- MICHELE MIRANDA
- Crediti formativi
- 6
- Periodo didattico
- Secondo Semestre
- SSD
- MAT/05
Obiettivi formativi
- Il corso intende presentare in modo ragionevolmente rigoroso alcuni strumenti matematici particolarmente adatti per le applicazioni in molti campi dell'ingegneria, in particolar modo nella teoria dei segnali. Tra questi, i principali saranno la Z-trasformata e le due trasformate integrali più semplici, quella di Laplace (per segnali causali) e quella di Fourier (per segnali più generali). Se il tempo lo permetterà, si introdurrà brevemente anche la trasformata di Hilbert.
L'obiettivo principale è aiutare gli studenti a colmare il divario esistente fra i corsi elementari di calcolo e i corsi avanzati.
Le principali conoscenze acquisite saranno:
- definizione, proprietà e applicazioni della Z-trasformata
- definizione, proprietà e applicazioni della trasformata di Laplace
- definizione, proprietà e applicazioni della trasformata di Fourier
- elementi di base della teoria delle distribuzioni
Le principali abilità (ossia la capacità di applicare le conoscenze acquisite) saranno:
- calcolo di trasformate integrali dei segnali (causali e non) più comuni
- risoluzione di equazioni differenziali ordinarie tramite trasformazioni integrali
- discretizzazione temporale di una semplice equazione differenziale lineare e soluzione approssimata
- realizzazione teorica di filtri passa-basso
- utilizzo delle singolarità isolate di una funzione complessa per il calcolo di integrali (necessari per invertire per esempio le Z-trasformate) Prerequisiti
- Tutti i contenuti dei corsi di Analisi Matematica 1A, 1B e 2
Contenuti del corso
- FUNZIONI DI UNA VARIABILE COMPLESSA (15 h)
- numeri complessi
- qualche nozione di topologia
- funzioni continue
- funzioni olomorfe
- equazioni di Cauchy-Riemann
- armoniche coniugate
- teorema di Cauchy
- teorema di deformazione del contorno
- formula integrale di Cauchy
- formula della media per le armoniche coniugate
- serie di potenze
- analiticità delle funzioni olomorfe
- zeri di una funzione olomorfa
- teorema di Liouville
- teorema fondamentale dell'Algebra
- singolarità isolate: rimovibili, poli e singolarità essenziali
- residui
- teorema dei residui
- serie bilatere
- teorema di Laurent
- decomposizione in fratti semplici
Z-TRASFORMATA (5 h)
- definizione
- raggio di convergenza
- proprietà e formule notevoli
- teorema del valore iniziale
- teorema del valore finale (forma non-tangenziale)
- regolarità
- formula di inversione
- applicazioni della Z-trasformata alle equazioni alle differenze
INTEGRALE DI LEBESGUE E SPAZI L^p (7,5 h)
- definizione informale di integrazione secondo Lebesgue
- teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale (Fatou, convergenza dominata, convergenza monotona)
- teoremi di Fubini e Tonelli
- definizione di spazio L^p
- le disuguaglianze di Young, Holder e Minkowski
- teorema di densità
- continuità in norma rispetto alle traslazioni
- convoluzioni: definizione e disuguaglianze di Young per le convoluzioni
- esempi
- regolarizzazione tramite convoluzione
- approssimazione tramite convoluzione
TRASFORMATA DI LAPLACE (10 h)
- segnali causali L-trasformabili
- definizione di trasformata di Laplace
- ascissa di convergenza
- condizione necessaria di trasformabilità
- condizioni sufficienti di trasformabilità
- continuità e limitatezza della trasformata
- derivata della trasformata
- olomorfia della trasformata di Laplace
- trasformata della derivata
- trasformata della convoluzione
- formule per il riscalamento ed il ritardo temporale
- traslazione della trasformata nel piano complesso
- formula di inversione per segnali C1 a tratti
- antitrasformazione di funzioni razionali proprie, usando la riduzione in fratti semplici
- soluzione del problema di cauchy per equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti
- funzione di trasferimento e risposta impulsiva
- trasformata bilatera di Laplace
TRASFORMATA DI FOURIER (11 h)
- definizione di trasformata di Fourier per un segnale in L^1
- confronto con la trasformata di Laplace
- continuità e limitatezza della trasformata
- lemma di Riemann-Lebesgue
- derivabilità della trasformata di Fourier
- trasformata di Fourier della derivata
- legame tra regolarità e decadimento
- formula di inversione per segnali C^1 a tratti
- formula di dualità
- principio di indeterminazione
- la classe S di Schwartz
- proprietà della trasformata di Fourier in S
- formule di Parseval e Plancherel
- segnali a banda limitata
- esempi di filtri ideali passa-basso
- formula di campionamento di Shannon-Whittaker
- esempi di aliasing
DISTRIBUZIONI (11,5 h)
- presentazione informale della teoria: derivata del gradino unitario
- convergenza di funzioni nella classe S
- definizione di distribuzione temperata
- la delta di Dirac
- funzioni a crescita lenta e distribuzioni temperate regolari da esse generate
- serie di delta
- la distribuzione "valore principale di 1/t"
- operazioni elementari con le distribuzioni temperate: combinazione lineare, cambio di variabile, moltiplicazione per funzioni regolari, convoluzione con una funzione
- successioni di distribuzioni temperate convergenti
- derivata distribuzionale
- trasformata di Fourier di una distribuzione temperata
- esempi di trasformate di Fourier (gradino unitario, segno, delta, costanti, valore principale di 1/t)
- formula di Sochocki-Plemelj
- pettine di Dirac
- formula di sommazione di Poisson
- trasformata di Hilbert Metodi didattici
- Il corso è organizzato nel seguente modo: lezioni in aula sugli argomenti del corso, tenute dal docente titolare. Le lezioni consistono di parti teoriche, intervallate da esercizi ed esempi che mirano ad illustrare i concetti presentati.
Per la distribuzione del materiale didattico e per l'interazione docente-studenti verra' utilizzata la piattaforma GoogleClassRoom, codice
mq6qsnq Modalità di verifica dell'apprendimento
- L'esame consiste di una prova orale della durata di circa 1 ora, durante la quale verrà verificata la preparazione dello studente. La prova orale si articola in almeno 3 quesiti, su almeno 2 argomenti del corso. Almeno 1 dei quesiti sarà di carattere teorico.
Per agevolare e alleggerire il colloquio d’esame e farlo rimanere nella durata di un’ora si richiede allo studente di svolgere e consegnare al docente per posta elettronica almeno il giorno precedente l’esame alcuni degli esercizi per casa proposti nelle lezioni e divisi per capitoli; sara’ discrezione dello studente la scelta del numero e del tipo di esercizi da sottomettere (sarebbe opportuno almeno uno per capitolo e comunque almeno tre esercizi in totale, tenendo presente che piu’ esercizi si sottomettono e meglio si sara’ valutati in sede di esame).
Il superamento dell'esame è prova di aver acquisito le conoscenze e le abilità specificate negli obiettivi formativi dell'insegnamento. Testi di riferimento
- - Dispense del corso che verranno rese disponibili sulla GoogleClassRoom del corso
- C. Barozzi "Matematica per l'Ingegneria dell'Informazione" Zanichelli (per tutti gli argomenti, tranne la Z-trasformata)
- M. Giaquinta, G. Modica "Note di metodi matematici per ingegneria informatica" Pitagora (solo per la parte sulla Z-trasformata)
TESTI CONSIGLIATI PER L'APPROFONDIMENTO
- D. Mari "Trasformata di Laplace per l'Ingegneria" Pitagora
- L. Badia, D. Mari "MatES - Esercizi di Matematica per l'Elaborazione dei Segnali" Pitagora
- G. Gilardi "Analisi tre" Mc Graw Hill
