GEOMETRIA
Anno accademico e docente
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- English course description
- Anno accademico
- 2022/2023
- Docente
- ROSSANA CHIAVACCI
- Crediti formativi
- 12
- Periodo didattico
- Annualità Singola
- SSD
- MAT/03
Obiettivi formativi
- l corso rappresenta un primo insegnamento di algebra lineare e geometria analitica;
l'obiettivo principale dell'insegnamento consiste nel fornire agli studenti le basi per affrontare lo studio della geometria definita dalle particolari strutture algebriche di cui vengono dotati gli spazi di dimensione finita, con particolare riferimento a quelli reali.
Le principali conoscenze acquisite saranno:
conoscenza approfondita degli spazi vettoriali di dimensione finita;
conoscenza di morfismi tra spazi vettoriali;
conoscenza degli spazi euclidei;
conoscenza di operatori isometrici e simmetrici in spazi euclidei.
Le principali abilità ( intese come capacità di applicare le conoscenze acquisite) saranno:
operare con elementi di spazi vettoriali di dimensione finita;
visualizzare e realizzare geometricamente in ambienti di dimensione bassa, quanto trattato teoricamente in generale;
riconoscere le caratteristiche di uno spazio euclideo;
saper analizzare approfonditamente le trasformazioni isometriche;
classificare le quadriche. Prerequisiti
- Elementi di geometria analitica e di calcolo algebrico elementare, in particolare: coordinate cartesiane, polinomi, equazioni e disequazioni di primo e di secondo grado, sistemi di equazioni di primo grado in due o più incognite, trigonometria elementare.
Contenuti del corso
- Il corso prevede 108 ore di didattica durante le quali saranno trattati i seguenti argomenti
sistemi lineari omogenei e non omogenei; matrici, determinanti, rango; matrici del sistema e loro forma canonica tramite operazioni elementari riga.Teorema di Rouchè-Capelli. Spazi e sottospazi vettoriali; combinazione lineare,indipendenza lineare, base; cambiamento di base; Spazio somma e spazio intersezione. Mappe lineari, matrici associate. Teorema delle dimensioni, di Grassmann, di Cramer.
Sottospazi invarianti; autospazi, autovettori, autovalori. Diagonalizzazione di matrici. Sottospazi affini di spazi vettoriali: parallelismo e incidenze.Forme bilineari,forme quadratiche, ortogonalità; diagonalizzazione delle forme quadratiche, teorema di Sylvester. Spazi euclidei: principali proprietà, angoli. Proiezioni ortogonali,teorema di ortogonalizzazione; gramiano; volumi. Operatori aggiunti e teorema spettrale; isometrie vettoriali: classificazione in dimensione due e tre, teorema generale di struttura. Operatori simmetrici e teorema generale di struttura. Classificazione di quadriche mediante riduzione a forma canonica. Metodi didattici
- Lezioni in aula su tutti gli argomenti del corso con esposizione scritta della parte teorica corredata di numerosi esercizi svolti quali esempi esplicativi della teoria trattata.
Modalità di verifica dell'apprendimento
- L'obiettivo della prova d'esame consiste nel verificare il livello di raggiungimento degli obiettivi formativi precedentemente indicati.
L'esame è diviso in due parti che hanno luogo in giorni diversi:
una prova scritta con soluzione di esercizi numerici su tutti gli argomenti trattati nel corso. La prova ha lo scopo di valutare lo studio della materia e la comprensione degli argomenti di base ed ha carattere di selezione in quanto lo studente che non mostri una sufficiente conoscenza degli argomenti non è ammesso alla prova orale. Il tempo previsto per la prova scritta è di 2 ore e 30 minuti. Per superare la prova è necessario acquisire almeno 18 punti su 30; è consentito consultare solo gli appunti riportati personalmente a mano su un foglio A4 che può contenere tutte le nozioni ritenute utili per il superamento della prova;
una prova orale nella quale non sarà valutata tanto l'abilità nel “ripetere “ qualche argomento trattato a lezione, quanto la comprensione dei concetti di base e dei risultati principali e la capacità di collegare e confrontare aspetti diversi trattati durante il corso; sono richieste dimostrazioni di alcuni dei teoremi principali;
La valutazione del voto finale terrà conto del voto dello scritto e dell'esposizione orale che deve dimostrare una sufficiente conoscenza degli argomenti: se questa non è valutata sufficiente è possibile ripetere solo la prova orale in un successivo appello;
Per superare l'esame è necessario acquisire un punteggio minimo di 18 su 30. Testi di riferimento
- Testo di riferimento:
R.Chiavacci - C.Alessi - D.Rebba, "GEOMETRIA" , Pitagora Editrice, Bologna, 2021
