ISTITUZIONI DI METODI MATEMATICI DELLA FISICA
Anno accademico e docente
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- English course description
- Anno accademico
- 2015/2016
- Docente
- ALESSIO NOTARI
- Crediti formativi
- 9
- Periodo didattico
- Secondo Semestre
- SSD
- FIS/02
Obiettivi formativi
- SCOPO DEL CORSO E' FORNIRE AGLI STUDENTI DEL SECONDO ANNO DI FISICA,LE CONOSCENZE FONDAMENTALI ALLA COMPRENSIONE DELLE MODERNE TEORIE FISICHE:
ANALISI COMPLESSA,
SPAZI VETTORIALI,SPAZI NORMATI,SPAZI DI HILBERT, SERIE E TRASFORMATE DI FOURIER; DISTRIBUZIONI Prerequisiti
- ALGEBRA DI BASE, ALGEBRA LINEARE (SPAZI REALI A DIMENSIONE FINITA),
CALCOLO DIFFERENZIALE,
CALCOLO INTEGRALE, FUNZIONI A PIU' VARIABILI,
CALCOLO INTEGRALE MULTIDIMENSIONALE Contenuti del corso
- 1. FUNZIONI DI UNA VARIABILE COMPLESSA
Richiami di algebra, numeri complessi.
Funzioni olomorfe.
Serie di potenze nel piano complesso.
Sviluppi in serie di Taylor/Laurent.
Integrali sul piano complesso e Teoremi di Cauchy.
Zeri e singolarità di una funziona complessa.
Metodo dei residui. Parte principale di Cauchy.
Lemma di Jordan.
Punto all'infinito e residui all'infinito.
Radici e Logaritmi complessi.
Punti di Diramazione e Tagli.
2. SPAZI DI HILBERT E SERIE DI FOURIER
Richiami di geometria a dimensione finita. Spazi vettoriali complessi. Prodotto scalare. Sistemi ortonormali. Rˆn e Cˆn. Operatori e matrici unitari e autoaggiunti. Autovalori e autovettori. Diagonalizzazione di operatori autoaggiunti.
Onde stazionarie nella equazione di D'Alembert.
Serie di Fourier.
Prodotti scalari e norme.
Lo spazio Lˆ2(I).
Spazi di Hilbert, spazi separabili e sistemi completi
Serie e Isomorfismo con lo spazio lˆ2.
Convergenza puntuale, uniforme e lˆ2 di funzioni.
Operatori lineari, continui e limitati.
Operatori aggiunti, autoaggiunti, unitari, proiettori.
Problema di Sturm-Liouville e cenni su equazione di Schroedinger per l'oscillatore armonico e polinomi di Hermite.
Cenni su equazione atomo di idrogeno: polinomi di Legendre e di Laguerre. Armoniche sferiche.
Equazione di D'Alembert in due dimensioni e Funzioni di Bessel.
3. TRASFORMATA DI FOURIER
Analogie tra serie di Fourier e integrale di Fourier.
"Principio di indeterminazione" tra funzioni e loro trasformate di Fourier.
La trasformata di Fourier in Lˆ1(R).
Continuità della trasformata di Fourier. Derivazione e trasformata di Fourier.
La trasformata di Fourier in Lˆ2(R). Uguaglianza di Parseval.
Antitrasformata di Fourier.
4. CENNI SU DELTA DI DIRAC E DISTRIBUZIONI
La Delta di Dirac come limite di successioni di funzioni.
La Delta come distribuzione definita su funzioni test.
Theta di Heaviside, sua derivata e derivate della Delta.
Trasformata di Fourier della Delta e delle sue derivate. Metodi didattici
- Lezioni teoriche/esercitazioni.
Modalità di verifica dell'apprendimento
- L'esame scritto comprende 3 esercizi su: Analisi complessa, Spazi di Hilbert, Trasformata di Fourier e Distribuzioni. Con un punteggio di almeno 15 si é ammessi all'esame orale.
Testi di riferimento
- Metodi matematici della fisica, Giampaolo Cicogna. Editore Springer Verlag. 2008. I capitoli affrontati sono i seguenti: cap. 3 (3.1-3.13). cap. 1 (1.1-1.8). cap.2 (2.1-2.4, 2.6-2.22), cap. 4 (4.1-4.9, 4.11-4.12). cap.5 (5.1, 5.3, 5.4).
Dello stesso autore: "Compiti con Soluzioni di Metodi Matematici della Fisica".
Per approfondimento sulla parte di funzioni di analisi complessa: "Complex Variables and Applications" (cap.1-7) J. Brown and R. Churchill. Editore McGrawHill.
