Istituzioni di metodi matematici della fisica - Programma Dettagliato Dott. Notari

Docente: Dott. Alessio Notari

1. FUNZIONI DI UNA VARIABILE COMPLESSA

Richiami di algebra, numeri complessi.
Funzioni olomorfe.
Serie di potenze nel piano complesso.
Sviluppi in serie di Taylor/Laurent.
Integrali sul piano complesso e Teoremi di Cauchy.
Zeri e singolarità di una funziona complessa.
Metodo dei residui. Parte principale di Cauchy.
Lemma di Jordan.
Punto all'infinito e residui all'infinito.
Radici e Logaritmi complessi.
Punti di Diramazione e Tagli.

2. SPAZI DI HILBERT E SERIE DI FOURIER

Richiami di geometria a dimensione finita. Spazi vettoriali complessi. Prodotto scalare. Sistemi ortonormali. Rˆn e Cˆn. Operatori e matrici unitari e autoaggiunti. Autovalori e autovettori. Diagonalizzazione di operatori autoaggiunti.
Onde stazionarie nella equazione di D'Alembert.
Serie di Fourier.
Prodotti scalari e norme.
Lo spazio Lˆ2(I).
Spazi di Hilbert, spazi separabili e sistemi completi
Serie e Isomorfismo con lo spazio  lˆ2.
Convergenza puntuale, uniforme e lˆ2 di funzioni.
Operatori lineari, continui e limitati.
Operatori aggiunti, autoaggiunti, unitari, proiettori.
Problema di Sturm-Liouville e cenni su equazione di Schroedinger per l'oscillatore armonico e polinomi di Hermite.
Cenni su equazione atomo di idrogeno: polinomi di Legendre e di Laguerre. Armoniche sferiche.
Equazione di D'Alembert in due dimensioni e Funzioni di Bessel.

3. TRASFORMATA DI FOURIER

Analogie tra serie di Fourier e integrale di Fourier.
"Principio di indeterminazione" tra funzioni e loro trasformate di Fourier.
La trasformata di Fourier in Lˆ1(R).
Continuità della trasformata di Fourier. Derivazione e trasformata di Fourier.
La trasformata di Fourier in Lˆ2(R). Uguaglianza di Parseval.
Antitrasformata di Fourier.

4. CENNI SU DELTA DI DIRAC E DISTRIBUZIONI

La Delta di Dirac come limite di successioni di funzioni.
La Delta come distribuzione definita su funzioni test.
Theta di Heaviside, sua derivata e derivate della Delta.
Trasformata di Fourier della Delta e delle sue derivate.



BIBLIOGRAFIA:

Metodi matematici della fisica, Giampaolo Cicogna. Editore Springer Verlag. 2008: cap. 3 (3.1-3.13). cap. 1 (1.1-1.8). cap.2 (2.1-2.4, 2.6-2.22), cap. 4 (4.1-4.9, 4.11-4.12). cap.5 (5.1, 5.3, 5.4).
Dello stesso autore: "Compiti con Soluzioni di Metodi Matematici della Fisica".
Per la parte di funzioni di analisi complessa: "Complex Variables and Applications", J. Brown and R. Churchill. Editore McGrawHill.