MECCANICA ANALITICA
Anno accademico e docente
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- English course description
- Anno accademico
- 2022/2023
- Docente
- VINCENZO COSCIA
- Crediti formativi
- 6
- Periodo didattico
- Primo Semestre
- SSD
- MAT/07
Obiettivi formativi
- Obiettivo del corso è far acquisire agli Studenti le nozioni e le metodologie di base della Meccanica Analitica, con particolare riferimento agli argomenti che trovano sviluppo ed applicazione alla Relatività ed ai fondamenti della Meccanica Quantistica non relativistica.
Le principali conoscenze che verranno acquisite riguardano:
- elementi di algebra multilineare e tensoriale, con particolare riferimento ai tensori euclidei ed alle applicazioni geometriche
- cinematica dei sistemi materiali liberi e vincolati, con particolare riferimento alle proprietà di trasformazione di spazi-tempo
- richiami alla dinamica newtoniana di sistemi costituiti da punti materiali e da corpi rigidi
- meccanica lagrangiana dei sistemi olonomi, con elementi di geometria differenziale e di calcolo delle variazioni. Proprietà di covarianza delle equazioni di Lagrange. Simmetrie e leggi di conservazione
- meccanica hamiltoniana. Struttura canonica delle equazioni del moto. Parentesi di Poisson, leggi di conservazione e gruppi di trasformazioni
- equilibrio e stabilità
Al termine del corso lo Studente avrà appreso a:
- effettuare semplici calcoli su vettori e tensori euclidei e determinare proprietà di trasformazione tra sistemi di coordinate generali
- determinare le equazioni del moto in formalismo lagrangiano per sistemi a vincoli olonomi
- studiare le proprietà qualitative dei moti di sistemi olonomi, individuare le leggi di conservazione e determinare i corrispondenti integrali primi, utilizzare questi ultimi nell’analisi del moto dei sistemi materiali
- conoscere gli elementi di base della formulazione geometrica della meccanica lagrangiana, del calcolo delle variazioni e della formulazione variazionale delle equazioni di Lagrange
- ricavare le equazioni del moto in formulazione hamiltoniana, studiare le proprietà di simmetria e di covarianza, lavorare con le parentesi di Poisson ed il formalismo canonico
- determinare le configurazioni di equilibrio di un sistema materiale e studiarne le proprietà di stabilità Prerequisiti
- È richiesta una conoscenza operativa dell'algebra lineare e vettoriale, nonché del calcolo differenziale e integrale in più variabili.
Non è possibile sostenere l'esame di Meccanica Analitica se non si è superato quello di Fisica Generale I. Contenuti del corso
- Il corso (6 CFU) consiste in 60 ore di didattica frontale suddivise senza soluzione di continuità tra “teoria”, momenti cioè nei quali vengono introdotti ed illustrati gli argomenti del corso, ed “esercitazioni”, consistenti in esercizi risolti nel dettaglio.
- Motivazioni del corso; difficoltà e superamento della meccanica Newtoniana (2 ore)
- Richiami di algebra lineare. Spazi vettoriali, spazi di funzionali lineari, spazi duali. Componenti controvarianti. Spazi euclidei e propriamente euclidei. Componenti covarianti (4 ore)
- Algebra delle trasformazioni bilineari. Spazi tensoriali. Tensori doppi controvarianti, covarianti e misti. Proprietà di trasformazione dei tensori doppi. Tensori euclidei. Tensore metrico e sue proprietà (4 ore)
- Autovalori, autovettori e proprietà spettrali di tensori doppi. Trasformazioni ortogonali. Proprietà dei tensori ortogonali e gruppo delle rotazioni proprie in R^3 (4 ore)
- Spazi puntuali. Riferimenti. Sistemi di coordinate ortogonali. Proprietà ed operazioni negli spazi puntuali (2 ore)
- Cinematica dei sistemi materiali liberi. Sistemi vincolati e classificazione dei vincoli. Grado di libertà. Sistemi a vincoli olonomi e coordinate lagrangiane. Applicazioni al corpo rigido. Cinematica relativa (6 ore)
- Principi della dinamica Newtoniana. Legge di forza. Equazione fondamentale e sue proprietà di covarianza. Equazioni cardinali. Applicazioni (6 ore)
- Equazione di d'Alembert-Lagrange. Vincoli ideali. Meccanica Lagrangiana. Le equazioni di Lagrange per i sistemi a vincoli olonomi e bilaterali. Proprietà di covarianza della lagrangiana. Leggi di conservazione e integrali primi (8 ore)
- Introduzione elementare alla geometria differenziale. Spazio delle configurazioni come varietà differenziabile, spazio tangente e cotangente. Metrica riemanniana (8 ore)
- Concetti elementari di calcolo delle variazioni. Le equazioni di Lagrange come condizioni estremali sull'integrale di azione (4 ore)
- Configurazioni di equilibrio e loro determinazione. Stabilità del moto e dell'equilibrio. Condizioni sufficienti per la stabilità dell'equilibrio. Modi normali (4 ore)
- Equazioni di Hamilton e loro proprietà. Parentesi di Poisson e struttura canonica della meccanica. Simmetrie e leggi di conservazione. I fondamenti classici della meccanica quantistica (8 ore) Metodi didattici
- La didattica è basata su lezioni frontali. Queste comprendono sia la trattazione di tutti gli argomenti sia lo svolgimento dettagliato di esempi ed esercizi e la correzione di quelli proposti (homeworks).
Modalità di verifica dell'apprendimento
- L'esame si articola in una prova scritta ed in una prova orale. Il superamento della prova scritta è condizione necessaria per accedere alla prova orale. La prova scritta consiste nella risoluzione di un problema articolato in più punti riguardante gli argomenti svolti a lezione. In particolare, il problema verte sui punti seguenti:
scrivere le equazioni indefinite in forma lagrangiana o hamiltoniana del moto di un sistema meccanico, generalmente a vincoli olonomi, bilaterali e privi di attrito;
determinare le configurazioni di equilibrio e/o classi particolari di moti;
studiare proprietà qualitative e utilizzare le leggi di conservazioni o le proprietà di simmetria;
studiare le proprietà di stabilità delle configurazioni di equilibrio;
calcolare le pulsazioni dei piccoli moti attorno alle configurazioni di equilibrio stabile e, eventualmente, determinare i modi normali.
La prova scritta ha lo scopo di verificare la capacità del candidato di risolvere semplici problemi riguardanti gli argomenti fondamentali del corso. L'approfondimento sarà eventualmente oggetto della successiva prova orale.
La prova scritta si intende superata con un voto pari almeno a 18/30 ma è consentito accedere alla prova orale anche con un voto alla prova scritta compreso tra 15/30 e 17/30.
La prova orale tende all'accertamento di una conoscenza operativa e non superficiale della materia e della capacità di affrontare e risolvere semplici esercizi su tutti gli argomenti del corso, inclusi quelli non compresi nella prova scritta.
Il voto finale tiene conto, in maniera critica e non automatica, dei voti conseguiti alla prova scritta ed a quella orale. Testi di riferimento
- Appunti forniti dal docente
Fasano A., Marmi S., Analytical mechanics, Oxford University Press, 2006
Jeevanjee N., An Introduction to Tensors and Group Theory for Physicists, Birkhäuser, 2011
Johns O.D., Analytical Mechanics for Relativity and Quantum Mechanics, Oxford Graduate Texts, 2005
F.R. Gantmacher, Lezioni di Meccanica Analitica, Editori Riuniti, 1980
A. Romano, M. Furnari, The Physical and Mathematical Foundations of the Theory of Relativity, Birkhäuser, 2019
B. Ferretti, Le radici classiche della meccanica quantica, Bollati Boringhieri, 1980
