Programma anno accademico 2021/22
Richiami sugli spazi vettoriali. Applicazioni e funzionali lineari. Spazi vettoriali euclidei. Applicazioni bilineari. Prodotto tensoriale e spazi tensoriali. Tensori e cambiamento di base. Tensore metrico. Tensori doppi affini e loro proprietà. Autovalori ed autovettori dei tensori euclidei. Trasformazioni ortogonali. Prodotto vettoriale.
Spazi puntuali affini. Vettori applicati. Riferimenti. Momento di un sistema di vettori applicati. Coppie. Isometrie in uno spazio puntuale. Caratterizzazione delle isometrie.
Richiami di cinematica del punto materiale libero. Espressione delle grandezze cinematiche in diversi sistemi di coordinate (cartesiane, polari). Riferimento di Frénet e formule corrispondenti. Esempi di descrizione cinematica del moto di un punto materiale libero. Sistemi materiali vincolati. Vincoli e loro classificazione. Vincoli olonomi, grado di libertà e coordinate lagrangiane. Cinematica rigida. Atto di moto rigido e teorema di Mozzi. Cinematica relativa. Principio dei moti relativi e teorema di Coriolis.
Richiami sui fondamenti della meccanica newtoniana. ll principio di inerzia. Legge di forza. Massa inerziale. Determinismo dinamico e principio di relatività di Galileo. Dinamica del punto materiale libero. Dinamica del punto libero in un riferimento non inerziale. Forze apparenti. Statica del punto materiale libero. Meccanica terrestre. Equazioni cardinali della Meccanica. Equazioni di bilancio. Equazioni cardinali per i sistemi materiali continui. Momento angolare per i sistemi rigidi. Lavoro e potenza. Energia cinetica. Integrali primi della quantità di moto e del momento angolare. Equazione di d’Alembert e Lagrange. Teorema delle forze vive. Forze conservative. Integrale dell’energia. Applicazioni.
Richiami sulla geometria di curve e superfici. Spazio delle configurazioni. Cenni elementari di geometria differenziale. Concetto di spazio vettoriale tangente. Vincoli ideali. Componenti lagrangiane delle forze attive e delle forze di inerzia. Espressione lagrangiana dell’energia cinetica. Equazioni di Lagrange. Carattere normale del sistema di equazioni di Lagrange. Proprietà di invarianza delle equazioni di Lagrange. Integrale primo dell’energia. Gruppi di simmetria e teorema di Noether. Equilibrio. Stabilità dell’equilibrio. Teorema di Lagrange-Dirichlet e sua parziale inversione. Piccoli moti attorno ad una configurazione di equilibrio stabile. Modi normali.
Lemma fondamentale del calcolo delle variazioni. L’integrale di Hamilton. Il principio di minima azione di Hamilton e sue relazioni con le equazioni di Lagrange.
Trasformazione delle equazioni di Lagrange. Momenti cinetici. Equazioni di Hamilton. Spazio delle fasi. Trasformazioni canoniche e condizioni di canonicità. Parentesi di Poisson e integrali primi del moto. Costanti del moto e simmetrie. Cenni ai sistemi integrabili.
