ISTITUZIONI DI MATEMATICA
Anno accademico e docente
Non hai trovato la Scheda dell'insegnamento riferita a un anno accademico precedente?
Ecco come fare >>
- English course description
- Anno accademico
- 2015/2016
- Docente
- UMBERTO MASSARI
- Crediti formativi
- 12
- Periodo didattico
- Annualità Singola
- SSD
- MAT/05
Obiettivi formativi
- Lo scopo del corso è dare alcune conoscenze di base dell'Analisi Matematica e gli strumenti analitici per lavorare con i numeri reali, i numeri complessi e le funzioni reali di una variabile reale.
Le principali conoscenze fornite dal corso saranno:
- i concetti di numero reale e di funzione reale di variabile reale;
- i concetti di estremo inferiore e di estremo superiore per insiemi e funzioni;
- il principio di induzione;
- i concetto di limite di una successione di numeri reali e di una funzione;
- alcuni metodi per il calcolo dei limiti;
- il concetto di continuità di una funzione reale di variabile reale;
- il concetto di derivabilità di una funzione reale e i metodi per il calcolo delle derivate;
- il concetto di integrabilità secondo Riemann di una funzione reale;
- i principali metodi per il calcolo di primitive e di integrali definiti;
- il concetto di numero complesso, le sue proprietà e le operazioni nell'insieme dei numeri complessi;
- il concetto di equazione differenziale ordinaria (EDO);
- alcuni metodi per la soluzione di EDO del primo e del second'ordine.
Le principali abilità che gli studenti dovranno acquisire (ossia le capacità di applicare le conoscenze) saranno:
- saper verificare le proprietà dei numeri reali e determinare particolari insiemi di numeri reali;
- saper determinare l'estremo inferiore e/o l'estremo superiore di insiemi e funzioni;
- saper applicare il principio di induzione;
- saper verificarne le proprietà di funzioni reali e riconoscere le principali funzioni elementari (potenza, logaritmo, esponenziale, trigonometriche, ...);
- saper riconoscere le proprietà di serie numeriche e funzioni reali;
- saper verificare secondo definizione il limite di successioni numeriche e funzioni reali;
- saper calcolare il limite di successioni numeriche e di funzioni reali con vari metodi;
- saper effettuare operazioni con i numeri complessi e utilizzare le loro proprietà di rappresentazione;
- saper verificare le proprietà di continuità delle funzioni reali;
- saper determinare la derivabilità di funzioni reali;
- saper calcolare le derivate di ogni ordine di funzioni reali derivabili;
- saper studiare una funzione reale di variabile reale e disegnarne un accurato grafico qualitativo;
- saper determinare l'integrabilità secondo Riemann di funzioni reali;
- saper calcolare le primitive e l'integrale definito di funzioni reali Riemann-integrabili;
- saper risolvere semplici EDO di primo ordine (lineari e non lineari) e di second'ordine lineari a coefficienti costanti. Prerequisiti
- Sono richieste le conoscenze di base dell'Analisi Matematica che usualmente vengono insegnate nella scuola media superiore: insiemi, numeri, operazioni algebriche, rappresentazioni nel piano cartesiano, sistemi di coordinate, soluzione di equazioni algebriche di primo e secondo grado, disequazioni, radicali, operazioni con i polinomi algebrici (somma, differenza, prodotto, quoziente), fattorizzazione di polinomi algebrici (prodotti notevoli, regola di Ruffini, polinomi notevoli).
Contenuti del corso
- Il corso si divide in due moduli, per 96 ore complessive di lezione. Circa metà delle ore di lezione sono dedicate ad esempi ed esercizi.
Contenuti del modulo 1 (48 ore):
- principali proprietà dei numeri reali, concetto di funzione e richiamo di alcune funzioni elementari (10);
- estremo superiore ed estremo inferiore di insiemi e funzioni (10);
- successioni e limite per successioni (6);
- limiti per funzioni (10);
- funzioni continue e proprietà delle funzioni continue definite in intervalli (7);
- numeri complessi (5).
Contenuti del modulo 2 (48 ore):
- calcolo differenziale per funzioni di una variabile: proprietà delle funzioni derivabili su di un intervallo (8);
- applicazione allo studio del grafico di una funzione (10);
- calcolo integrale: definizione di funzione integrabile secondo Riemann e proprietà dell'integrale (16);
- equazioni differenziali lineari del prim'ordine ed equazioni differenziali lineari del second'ordine a coefficienti costanti (14). Metodi didattici
- Il corso prevede lezioni teoriche, accompagnate da esercitazioni alla lavagna svolte dal docente su tutti gli argomenti trattati.
Modalità di verifica dell'apprendimento
- Obiettivo delle prove d'esame è la verifica di un adeguato livello di raggiungimento degli obiettivi formativi del corso, sia rispetto alle conoscenze, ma soprattutto rispetto alle abilità.
L'esame è costituito da una prova scritta obbligatoria, mirata a valutare la capacità dello studente di risolvere problemi ed esercizi, e da una prova orale, mirata a valutare le conoscenze teoriche. La prova orale può essere facoltativa, qualora la prova scritta risulti sufficiente.
Il voto finale dell'esame di Istituzioni di Matematica è determinato da:
- un voto per lo scritto, acquisito eventualmente mediante prove parziali,
- una eventuale valutazione della prova orale.
Prova scritta.
Il voto per lo scritto è determinato dalla valutazione della prova scritta di sessione, oppure mediante le prove parziali. Nel caso di prove parziali, il voto finale dello scritto è dato dalla media aritmetica del voto finale riportato nella prova parziale del modulo 1 e del voto finale riportato nella prova parziale del modulo 2, arrotondata per eccesso all'intero superiore più vicino. Se tale media è maggiore o uguale a 14, essa costituirà il voto finale dello scritto. Si noti che questo voto non potrà essere maggiore di 24. Se la media è inferiore a 14, allora lo scritto si intende non superato e occorrerà sostenere una delle prove scritte totali di sessione.
Prova orale.
A seconda del voto finale riportato nello scritto, la prova orale può essere obbligatoria o facoltativa.
Se il voto finale dello scritto (sia esso determinato dalle prove parziali o da uno scritto totale) è compreso fra 14 e 17 punti (estremi inclusi), allora per superare l'esame è indispensabile sostenere la prova orale. Se invece il voto finale dello scritto è maggiore di o uguale a 18 punti, allora è a discrezione dello studente scegliere se sostenere o meno la prova orale, per aumentare eventualmente il voto finale dell'esame. Si noti che la prova orale non è necessariamente migliorativa.
Nel caso uno studente decida di sostenere la prova orale per migliorare il voto proposto a valle delle prove parziali, la base di partenza per la valutazione sarà in ogni caso la media delle prove parziali, anche qualora essa sia maggiore di 24 punti.
Note
Chi ha le prove parziali sufficienti può comunque partecipare allo scritto totale: in tal caso, se lo scritto totale viene consegnato per la correzione, allora il voto del totale sostituirà DEFINITIVAMENTE il voto acquisito con i parziali (non vale la regola di tenere il migliore dei due). Nel caso si scelga di provare lo scritto totale, è a discrezione dello studente decidere se consegnare o meno il compito.
Specifiche per ulteriori casi particolari si possono trovare nella pagina web del corso.
Durata.
Il voto finale dello scritto, comunque venga acquisito, rimane valido fino all'ultima sessione di esami (sessione straordinaria) dell'anno accademico nel quale si è svolto l'insegnamento al quale lo scritto stesso si riferisce. Testi di riferimento
- Principali:
- Dispense del docente;
- G. Buttazzo, G. Gambini, E. Santi: "Esercizi di Analisi Matematica I", Pitagora Editrice, Bologna, 1991.
Approfondimenti:
- F. Rosso, L. Fusi: "Matematica per le lauree triennali" (ed eventualmente, ma non necessariamente, "Esercizi di Matematica per le lauree triennali"), CEDAM, Trento, 2013;
- P. Marcellini, C. Sbordone: "Analisi Matematica I", Liguori Editore, Napoli, 1998;
- M. Bartsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli, "Analisi matematica", seconda edizione, McGraw-Hill Italia, Milano, 2011.
