Calcolo Scientifico
Docente: Prof. Valeria Ruggiero
Orario
Lunedi' ore 14–17
Venerdi' ore 13-16
Orario di ricevimento:
Lunedi', Venerdi' dopo la lezione.
Per informazioni, comunicazioni veloci e problemi relativi al corso: rgv@unife.it
Modalità di esame:
Scritto – orale
Syllabus
Introduzione al problema dell'approssimazione di dati e funzioni. Richiami su spazi funzionali lineari (lineare indipendenza di funzioni, spazi normati e seminormati). Principali classi delle funzioni approssimanti: polinomi (teorema di Weierstrass, teorema di Tonelli).
Materiale: cap_1, comple_1, cap_2
Principali classi delle funzioni approssimanti: polinomi di Chebyshev, polinomi trigonometrici, funzioni razionali, somme di esponenziali, spline. Esempi con Matlab. Interpolazione lineare.
Sistemi di Chebyshev e condizioni di Haar. Il problema dell'approssimazione lineare. Teorema di esistenza e unicità della soluzione in spazi lineari seminormati; unicità della soluzione in spazi strettamente normati.
Materiale: esercizi_comple1
Materiale: cap_3, cap_4, comple_2, comple1_1
Interpolazione iterata di Neville; definizione di differenze divise e principali proprietà. Polinomio di Newton.
Differenze divise coincidenti. Polinomio di Taylor e proprietà. Formula di Gregory-Newton in avanti e all'indietro. Implementazione. Formula di Stirling.
Interpolazione di Birkoff-Hermite. Resto dell'interpolazione di Hermite. Condizionamento del problema dell'interpolazione. Fenomeno di Runge. Teorema di Faber. Risultati di Jackson e teorema di Bernstein.
Esercizi: interpolazione in due variabili (estensione dell'interpolazione di Lagrange). Definizione di spline e teorema di rappresentazione; spline naturali e spline periodiche. Interpolazione mediante spline lineari. Costruzione della spline lineare di interpolazione.
Interpolazione di Bessel. Interpolazioni con spline cubiche. Proprietà di minima energia ed errore di interpolazione. Algoritmo per l'interpolazione con spline cubiche.
B-spline e proprietà. Rappresentazione di una spline come combinazione di B-spline. Lemma di Shoenberg. calcolo di B-spline.
Materiale: cap_5, cap_6, cap_7, comple2_1
Interpolazione con B-spline. Problema dei minimi quadrati nel caso continuo (spazio L2); caratterizzazione della soluzione, equivalenza con la risoluzione del sistema delle equazioni normali. Aprossimazione polinomiale con polinomi ortogonali con il criterio dei minimi quadrati (caso continuo).
Polinomi ortogonali. Algoritmo di Clensham Curtis. Serie di fourier. Minimi quadrati lineari (caso discreto): il problema. Equivalenza con la risoluzione del sistema delle equazioni normali. Teorema su esistenza della soluzione del problema dei minimi quadrati.
Materiale: cap_8, cap_9, comple_3
Pseudoinversa. Unicità per basi di Chebyshev; esempi ed esercizi. Soluzione del problema dei minimi quadrati discreto con fattorizzazione di Cholesky, con fattorizzazione QR (caso di rango piene e di rango deficiente)
Decomposizione ai valori singolari. Proprietà della SVD. Risoluzione del problema dei minimi quadrati con SVD. Condizione del problema.
Materiale: cap_10, cap_11, esercizi_comple2, esercizi_comple3
Approssimazione polinomiale con polinomi ortogonali. Approssimazione trigonometrica con il criterio dei minimi quadrati. Interpolazione trigonometrica.
Materiale: cap_12, cap_13, cap_14
Derivazione numerica: formule a n+1 punti per l'approssimazione della derivata prima. Estrapolazione di Richardson. Stabilità.
Integrazione numerica: formule interpolatorie. Formule di Newton Cotes. Convergenza delle formule interpolatorie. Formule composte e convergenza.
Teorema della somma di Eulero Mac Laurin. Metodo di Romberg. Formule adattive e implementazione
Formule di Gauss. Proprietà delle formule di Gauss. Calcolo dei nodi e dei pesi.
Materiale: comple5, esercizi_comple5, comple6, esercizi_comple6
