Programma A.A. 2010-2011

Docente: Prof. Gaetano Zanghirati

A.A. 2010/2011

Orario
Mercoledì 14:00 - 16:00, giovedì 15:00 - 18:00.
Le lezioni si svolgono nella sede staccata del Dipartimento di Matematica presso il Polo Scientifico-Tecnologico, Blocco B, terzo piano.

Modalità d'esame
Prova orale.

Sessioni d'esame

• 11 Febbraio 2013, ore 11:00, aula seminari, blocco B, terzo piano, PST.
• 6 Settembre 2012, ore 11:00, laboratorio studenti, blocco B, terzo piano, PST.
• 17 Luglio 2012, ore 15:00, aula seminari, blocco B, terzo piano, PST.
• 22 Giugno 2012, ore 10:30, laboratorio studenti, blocco B, terzo piano, PST.

Orario di ricevimento
Mercoledì 12:30 - 13:30 presso il Dipartimento di Matematica, salvo diverse indicazioni o appuntamenti.

Lezioni

2/3

Presentazione del corso. Breve introduzione agli argomenti generali. Discussione sui prerequisiti. Cenno ai riferimenti bibliografici e al software. Definizione di Ottimizzazione Numerica. Esempi di problemi di ottimo.
(2 ore)

3/3

Notazione. Richiami di algebra e analisi multivariata e loro interpretazione geometrica, esempi.
(3 ore)

10/3

Esempi di problemi non vincolati e di problemi vincolati. Definizione di punti di minimo locale e globale, relativo e assoluto. Condizioni di esistenza di minimi globali. vincolati e non. Teroma di Weirstrass. Convessità e condizioni per il caso convesso.
(4 ore)

16/3

Formula di Taylor in più variabili. Condizioni di ottimalità non vincolata del 1° e del 2° ordine. Esempi. Metodi numerici per problemi non vincolati: introduzione ai metodi di discesa.
(2 ore)

23/3

Tecnica di ricerca in linea per funzioni di più variabili. Teoremi per ricerca in linea con condizioni di Wolfe (deboli e forti). Esempi.
(2 ore)

24/3

Condizioni di Goldstein per la ricerca in linea. Teorema di Zoutendijk di convergenza globale per metodi di discesa non vincolata con linesearch di Wolfe. Esempi. Condizioni di Goldstein per ricerca in linea non vincolata. Condizione dell’angolo per la convergenza globale di metodi quasi-Newton.
(4 ore)

30/3

Algoritmo pratico di ricerca in linea con cond. di Wolfe forti, risultato di esistenza della soluzione. Proprietà dell'algoritmo. Algoritmo di sezionamento.
(2 ore)

6/4

Metodo di discesa più ripida (SD) con ricerca in linea esatta per quadratiche strettamente convesse. Velocità di convergenza di SD + LS esatta sulle quadratiche strett. convesse.
(2 ore)

7/4

Teorema di convergenza dell'algoritmo di sezionamento per la ricerca in linea limitata. Strategie di interpolazione per la scelta iterativa della lunghezza del passo. Regola di Armijo.
Esercizio di applicazione del metodo SD con LS per la determinazione di punti critici non vincolati in 2 variabili.
Lab: inizio esercizio di programmazione della ricerca in linea.
(4 ore)

13/4

Teoremi di convergenza e velocità di convergenza per SD con LS esatta. Teorema di Dennis-Moré per metodi quadi-Newton generali. Teorema ci convergenza del metodo di Newton.
(2 ore)

14/4

Cenni ai metodi di Newton modificati, metodo di Levenberg-Marquardt, Trust-Region, curvatura negativa, differenze finite. Introduzione ai metodi quasi-Newton.
Esercizi.
(2 ore)

20/4

Metodi quasi-Newton: algoritmo, proprietà di discesa, costo computazionale, variable metric methods. Condizione quasi-Newton. Formula con aggiornamento di rango 1. Teorema di convergenza su quadratiche convesse per formule di rango 1. Proprietà ereditaria.
(3 ore)

28/4

Aggiornamenti di rango 2. Formule DFP e BFGS, proprietà delle formule. Teorema di mantenimento della definita positività per formule di rango 2. Formule duali per DFP e BFGS. Cenno alla famiglia delle formule di Broyden.
Esercizi.
Lab: Introduzione alle funzioni dell'Optimization Toolbox di Matlab.
(4 ore)

11/5

Introduzione alla minimizzazione vincolata: concetti di base, esempi. Caso di un vincolo di uguaglianza.
(2 ore)

12/5

Caso di uno e due vincoli di disuguaglianza: esempi. Caso generale, funzione Lagrangiana. Condizioni di qualificazione dei vincoli: LICQ. Condizioni necessarie del prim'ordine: enunciato del Teorema KKT. Analisi di sensitività dei vincoli: il significato dei moltiplicatori di Lagrange.
(3 ore)

18/5

Elementi per la dimostrazione del Teroema KKT: successioni ammissibili, direzioni ammissibili, cono tangente all'insieme ammissibile, risultati per le direzioni ammissibili nei punti di minimo vincolato, Lemma di Farkas (solo enunciati). Cond. necessaria del second'ordine e cond. nec. e suff. del second'ordine per un punto di minimo vincolato (solo enunciati).
(3 ore)

19/5

Il metodo dello spazio nullo per problemi quadratici con soli vincoli di uguaglianza (ECQP). Esercizio.
Lab: altre funzioni dell'Optimization toolbox di Matlab. Esercizio di programmazione per risolvere un problema vincolato generale 2D.
(4 ore)