ADVANCED TOPICS IN GEOMETRY
Anno accademico e docente
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- English course description
- Anno accademico
- 2018/2019
- Docente
- FILIPPO ALFREDO ELLIA
- Crediti formativi
- 6
- Periodo didattico
- Secondo Semestre
- SSD
- MAT/03
Obiettivi formativi
- L’obiettivo principale consiste in una introduzione alla teoria degli schemi di Grothendieck. Il linguaggio degli schemi è ormai indispensabile per leggere un qualsiasi lavoro di ricerca in geometria algebrica. In questo corso, prendendo come riferimento il libro di Hartshorne “Algebraic geometry”, ormai un classico in materia, proponiamo una lettura “veloce” dei capitoli II e III del libro. (Il capitolo I è sostanzialmente coperto dal corso di geometria algebrica). Tralasceremo gli argomenti più tecnici e generali, rimandando al libro, ma tratteremo con la maggior precisione possibile il materiale necessario per la dimostrazione coomologica del teorema di Riemann-Roch per le curve (primo paragrafo del capitolo IV). Il teorema di Riemann-Roch, con le sue generalizzazioni, è senz’altro il teorema fondamentale della geometria algebrica proiettiva.
Alla fine del corso lo studente avrà un’idea precisa (ma incompleta!) della teoria degli schemi, una delle maggiori realizzazioni nella matematica del secolo scorso; inoltre avrà le basi per affrontare argomenti di ricerca e il bagaglio necessario per intraprendere uno studio più approfondito della geometria algebrica contemporanea. Prerequisiti
- I corsi di Algebra 1, Geometria 1,2, algebra commutativa, geometria algebrica. Qualche nozione di teoria delle categorie e di geometria differenziale (immersioni, submersioni, forme differenziali, fibrato tangente, cotangente).
Contenuti del corso
- Introduzione storica. Prefasci e fasci. Schemi affini, proiettivi. Fasci coerenti e moduli graduati. Coomologia. Curve proiettive, morfismi e sistemi lineari. Il teorema di Riemann-Roch. Prime applicazioni.
Metodi didattici
- Si tratta di un “reading course”: lo studente studia a casa la teoria e svolge gli esercizi assegnati. In classe il docente chiarisce gli eventuali dubbi e illustra gli argomenti successivi. Le soluzioni agli esercizi assegnati vengono esposte dagli studenti e sotto la guida del docente si procede alla correzione (questo richiede un forte impegno e una partecipazione molto attiva da parte degli studenti).
Modalità di verifica dell'apprendimento
- Esame orale, si terrà conto inoltre, in maniera significativa, della partecipazione durante l’anno alla correzione in classe degli esercizi proposti.
Testi di riferimento
- Hartshorne: “Algebraic geometry” (GTM 52, Springer 1977). Appunti del docente.
