ANALISI FUNZIONALE
Anno accademico e docente
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- English course description
- Anno accademico
- 2022/2023
- Docente
- DAMIANO FOSCHI
- Crediti formativi
- 8
- Percorso
- TEORICO
- Periodo didattico
- Primo Semestre
- SSD
- MAT/05
Obiettivi formativi
- Obiettivo del corso è fornire agli studenti gli strumenti dell'Analisi funzionale per essere in grado di formulare problemi (come quelli di esistenza di minimo) in opportuni spazi funzionali e di usare convergenze rispetto opportune topologie per la loro risoluzione. A tal scopo nel corso si presentano le nozioni di base, i teoremi e le tecniche principali della teoria degli operatori lineari e continui, degli spazi di Banach (con lo studio delle proprietà che caratterizzano gli spazi riflessivi) e degli spazi di Hilbert con applicazione allo studio delle proprietà degli spazi L^p e delle loro topologie deboli. In particolare al termine del corso lo studente conoscerà le versioni analitiche e geometriche del Teorema di Hahn-Banach, il Lemma di Baire, il Teorema di Banach-Steinhaus, i teoremi
della Mappa aperta e del grafico chiuso, i teoremi di Banach-Alouglu-Bourbaki, di Kakutani, il teorema di rappresentazione di Rietz.
Al termine del corso lo studente sarà in grado di:
- comprendere le differenze tra le proprietà di uno spazio di dimensione finita e le proprietà di uno di dimensione infinita (a livello di completezza, compattezza, continuità delle applicazioni lineari, esistenza di una base...)
- applicare le nozioni topologiche di continuità, convergenza, compattezza, separabilità in spazi topologici metrici e non;
- studiare la continuità e calcolare la norma di un operatore lineare e continuo su un spazio infinito dimensionale;
- stabilire l'uniforme limitatezza di un sottoinsieme di uno spazio di Banach;
- discutere le proprietà di compattezza (sequenziale e topologica) rispetto la topologia debole di un sottoinsieme convesso di uno spazio riflessivo;
- discutere le proprietà di compattezza (sequenziale e topologica) rispetto la topologia debole* di un sottoinsieme limitato di uno spazio riflessivo;
- discutere l'esistenza del limite debole (o debole*) di una successione;
- usare la topologia debole (e debole*) negli spazi L^p (in L^\infty);
- discutere quali ipotesi sullo spazio X e sulla funzione f garantiscono esistenza di un punto di minimo di f su X;
- tradurre in linguaggio matematico l'espressione "nel senso delle distribuzioni";
- accostarsi allo studio delle proprietà di ulteriori spazi funzionali come gli spazi BV e gli spazi di Sobolev
- applicare il metodo diretto del Calcolo delle Variazioni per studiare problemi di minimo. Prerequisiti
- I prerequisiti richiesti sono i contenuti dei corsi di Analisi 1,2,3 del corso di laurea triennale,
in particolare buona conoscenza delle basi di teoria della misura e dell'integrazione,
e buona conoscenza di elementi di topologia generale. Contenuti del corso
- (1) Richiami di topologia: base e sistema fondamentale di intorni. Spazi separati, spazi N_1, spazi N_2. Spazi separabili. Spazi compatti e spazi sequenzialmente compatti. Compattezza in spazi metrici. Funzioni continue e semicontinue. Teoremi di esistenza di minimo.
[4 ore]
(2) Seminorme e norme. Topologia di uno spazio normato e convergenza. Norme equivalenti. Richiami sugli spazi vettoriali di dimensione finita: equivalenza tra norme e completezza rispetto a qualunque norma, teorema di Bolzano-Weistrass e compattezza della palla chiusa. Teorema di Riesz.
[3 ore]
(3) Spazi di Banach. Esempio di norme non equivalenti. Criterio di Weirstrass per la convergenza di una serie in uno spazio di Banach. Esempi di spazi normati di dimensione infinita:
(a) spazi di successioni c_0, c_00, spazi l^p;
(b) spazi di funzioni: gli spazi C^k. Teorema di Ascoli-Arzelà.
(c) gli spazi L^p (richiami su disuguaglianza di Holder e Minkoskii)
[4 ore]
(4) Richiami sugli operatori lineari tra spazi normati: caratterizzazione della loro continuità. Norma di un operatore. Operatore trasposto. Completezza dello spazio degli operatori L(X,Y). Duali degli spazi l^p.
[4 ore]
(5) Lemma di Zorn, basi di Hamel. Teorema di Hahn-Banach (forma analitica reale). Costruzione di funzionali lineari e non continui in spazi di dimensione infinita. Estensione di operatori lineari, reali e continui definiti su sottospazi di spazi normati. Iperpiani chiusi. Forme geometriche del teorema di Hahn Banach: separazione di insiemi convessi.
[8 ore]
(6) Lemma di Baire e forme equivalenti. Spazi di prima e seconda categoria. Teorema di Banach-Steinhaus. Insiemi limitati in X e in X'. Teorema dell’applicazione aperta e suoi corollari. Teorema del grafico chiuso.
[7 ore]
(7) Costruzione di una topologia su un insieme X a partire da una famiglia di funzioni definite da X su spazi topologici. Topologia prodotto. Topologia debole e topologia debole*. Convergenza debole e debole*. Chiusura di un insieme convesso. Teorema di Banach-Alaoglu-Bourbaki. Spazi riflessivi. Teorema di Kakutani. Spazi separabili. Spazi uniformemente convessi.
[8 ore]
(8) Riflessività degli spazi di Hilbert. Teorema delle proiezioni su un convesso come applicazione del teorema di esistenza di punto di minimo. Teorema di Rietz-Frechet. Teorema di Lax-Milgram.
[3 ore]
(9) Spazi L^p: uniforme convessità e riflessività. Separabilità. Duali degli spazi L^p. Teoremi di rappresentazione di Riesz. Caratterizzazione delle convergenza debole e debole*. Definizione di operatore compatto.
[7 ore]
(10) Introduzione agli spazi di Sobolev: definizione e principali proprietà (completezza, riflessività). Disuguaglianza di Poincaré. Definizione di funzione armonica in senso debole e di soluzione debole dell'equazione di Poisson. Metodo degli spazi di Hilbert per la dimostrazione dell'esistenza di una soluzione debole per il problema di Dirichlet associato all' equazione di Poisson in W^{1,2}_0.
[16 ore] Metodi didattici
- Il corso verrà svolto attraverso lezioni ed esercitazioni. La presentazione dei teoremi principali è accompagnata dalla loro dimostrazione, dalla discussione di esempi, applicazioni e dallo svolgimento di esercizi che ne richiedono l'utilizzo. Vengono proposti esercizi da svolgere autonomamente e la cui risoluzione viene discussa successivamente.
Modalità di verifica dell'apprendimento
- La verifica dell'apprendimento dei contenuti del corso avviene tramite esercizi svolti a casa e un esame finale. Per poter accedere all'esame finale è necessario aver dimostrato di aver svolto gli esercizi assegnati per casa.
L'esame si articola in due prove:
- una prova scritta della durata di 3 ore in cui allo studente viene richiesto di risolvere alcuni esercizi (generalmente 4)
- una prova orale alla lavagna, che consiste in un colloquio riguardante gli argomenti teorici del corso. Allo studente si chiede di discutere alcuni dei teoremi studiati e delle loro applicazioni.
Risulta ammesso alla prova orale chi riporta un voto maggiore o uguale a 15 alla prova scritta.
La prova orale deve essere sostenuta nell'ambito della stessa sessione d'esami della prova scritta, e comunque prima dell’inizio della successiva sessione.
Il voto finale tiene conto di entrambe le prove. Esso non è dato dalla media aritmetica tra il voto conseguito nella prova scritta e quello conseguito nella prova orale, bensì da una valutazione complessiva del livello di preparazione dello studente.
Nella sessione invernale ci sono almeno 2 possibilità di sostenere sia lo scritto che l'orale, le date vengono concordate in aula con gli studenti presenti a lezione. Nelle altre sessioni ci sono una o più possibilità di sostenere l'esame, dipendentemente dalle richieste degli studenti. Testi di riferimento
- - Appunti del corso forniti dal docente durante il corso.
Argomenti specifici possono essere approfonditi sui seguenti testi:
- W. Rudin "Real and complex analysis", McGraw-Hill (1986)
- H. Brezis "Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations" (Springer)
- G. Gilardi "Analisi 3" Mc Graw Hill
- H. Brezis "Analisi funzionale", Liguori editore (1990)
