CALCOLO DELLE VARIAZIONI
Anno accademico e docente
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- English course description
- Anno accademico
- 2021/2022
- Docente
- LORENZO BRASCO
- Crediti formativi
- 6
- Periodo didattico
- Secondo Semestre
- SSD
- MAT/05
Obiettivi formativi
- Il corso è inteso come un'introduzione al Calcolo delle Variazioni. Si partirà con una panoramica sui classici problemi variazionali unidimensionali, proseguendo con lo studio dei cosiddetti Metodi Diretti nel Calcolo delle Variazioni,
fino ad arrivare (se il tempo lo permetterà) al Teorema di De Giorgi-Nash-Moser, che rappresenta l'inizio della moderna teoria della regolarità per le soluzioni dei problemi del Calcolo delle Variazioni. En passant, mostreremo come alcuni problemi squisitamente geometrici (es. il problema isoperimetrico) possono essere riformulati, affrontati e risolti, tramite gli strumenti analitici del Calcolo delle Variazioni.
Il primo obiettivo sarà comprendere il legame tra equazioni differenziali di tipo ellittico (come ad esempio l'equazione di Laplace e l'equazione delle superfici minime) e problemi di ottimizzazione convessa.
In seguito, affronteremo il problema di come mostrare l'esistenza di una soluzione, tramite una opportuna generalizzazione infinito-dimensionale del classico Teorema di Weierstrass. L'obiettivo finale sarà apprendere i primi rudimenti delle tecniche di regolarità necessarie per mostrare che le soluzioni trovate hanno le proprietà desiderate.
Al termine del corso, lo studente dovrà aver acquisito l'abilità di riconoscere problemi che possono essere trattati in modo variazionale: in particolare, dovrà essere in grado di capire se le soluzioni di tali problemi esistono e quale regolarità bisogna aspettarsi dalle loro soluzioni. Prerequisiti
- Tutti i contenuti dei corsi di Analisi Matematica I e II. Misura e Integrale di Lebesgue. Teoria degli spazi L^p.
Contenuti del corso
- Il corso e' inteso come introduzione ai metodi diretti del Calcolo delle Variazioni, con particolare attenzione alla determinazione dei minimi di funzionali definiti su spazi di funzioni derivabili in senso debole e delle loro proprietà di regolarità.
STRUMENTI (8 ore)
- funzioni convesse di una variabile
- funzioni convesse di più variabili
- disuguaglianza di Picone
- disuguaglianza di Young
- disuguaglianza di Jensen
- il lemma di Du Bois-Reymond
- il principio di Dirichlet
- variazione prima di un funzionale integrale
- equazione di Eulero-Lagrange in forma debole
ALCUNI PROBLEMI VARIAZIONALI UNO-DIMENSIONALI (12 ore)
- curve di lunghezza minima
- curve di energia cinetica minima
- il problema della brachistocrona
- disuguaglianze di Poincaré su un intervallo
- determinazione delle costanti ottime: funzioni nulle al bordo, funzioni a media nulla, funzioni periodiche a media nulla
- problemi isoperimetrici nel piano
- la disuguaglianza isoperimetrica di Hurwitz
SPAZI DI SOBOLEV (20 ore)
- motivazioni: il Metodo Diretto
- derivata debole in L^p
- definizione di spazio di Sobolev
- approssimazione di funzioni Sobolev tramite convoluzioni
- operazioni sulle funzioni Sobolev
- disuguaglianza di Poincaré
- disuguaglianza di Sobolev
- disuguaglianza di Ladyzhenskaya
- disuguaglianza di Morrey
- lo spazio W^{1,p}_0
- teoremi di immersione per W^{1,p}_0
- teoremi di immersione per W^{1,p}
- controesempio al teorema di immersione per domini non regolari
METODO DIRETTO NEGLI SPAZI DI SOBOLEV (8 ore)
- un esempio modello: l'equazione di Poisson
- un risultato di esistenza tra le funzioni Sobolev
- il primo autovalore del Laplaciano-Dirichlet
- lo spettro del Laplaciano-Dirichlet
- cenni di Teoria della Regolarità: le autofunzioni sono limitate Metodi didattici
- Il corso si svolge mediante lezioni principalmente su base teorica durante le quali si svilupperanno i principali strumenti; durante le lezioni si cerchera' di presentare anche la parte più pratica presentando alcune applicazioni degli aspetti teorici.
Modalità di verifica dell'apprendimento
- La verifica delle conoscenze acquisite è basata su un esame orale, in cui verranno effettuate 2 o 3 domande, su altrettanti argomenti esposti durante il corso. La prova ha la durata di un'ora circa.
Testi di riferimento
- Il corso sarà basato sul libro (in inglese) redatto dal docente
L. Brasco, "Handbook of Calculus of Variations for absolute beginners"
Per le conoscenze preliminari sugli spazi L^p, si raccomanda
E. H Lieb, M. Loss, "Analysis", Graduate Texts in Mathematics, AMS (Capitolo 2)
Per approfondimenti sugli argomenti del corso, consigliamo i seguenti testi:
H. Brezis,
"Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations",
Universitext, Springer
B. Dacorogna, "Introduction to the Calculus of Variations"
E. Giusti, "Direct methods in the Calculus of Variations",
World Scientific Pub Co Inc
G. Talenti, A. Colesanti, P. Salani, "Un'introduzione al Calcolo delle Variazioni", Unione Matematica Italiana
