ELEMENTI DI GEOMETRIA ALGEBRICA
Anno accademico e docente
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- English course description
- Anno accademico
- 2022/2023
- Docente
- ALEX MASSARENTI
- Crediti formativi
- 6
- Periodo didattico
- Secondo Semestre
- SSD
- MAT/03
Obiettivi formativi
- Introduzione ai problemi, concetti e metodi della Geometria Algebrica classica. Alla fine del corso lo studente avra` un immagine chiara sulle basi della Geometria Algebrica e sara` in grado di proseguire il suo studio con testi piu` avanzati, verso il fronte della ricerca contemporanea.
Conoscenze e abilità: alla fine del corso lo studente avrà acquisito i concetti e le tecniche di base della geometria algebrica, saprà porre in relazione le diverse proprietà delle varietà algebriche e usare risultati teorici a riguardo, e saprà risolvere problemi ed esercizi di geometria algebrica. Prerequisiti
- Fatti generali del corso di Algebra: anelli, moduli, polinomi, estensioni di campi, elementi algebrici e trascendenti. Fatti generali del corso di Geometria I:
spazi affini, quadriche. Contenuti del corso
- 12 ore: Insiemi algebrici affini. Il teorema della base di Hilbert. Corrispondenza tra ideali ed insiemi algebrici. Il teorema degli zeri di Hilbert.
Topologia di Zariski. Insiemi irriducibili. Decomposizione in componenti irriducibili.
Morfismi ed applicazioni razionali. Funzioni regolari. Funzioni razionali dominanti. Equivalenza birazionale.
8 ore: Teoria della dimensione, dimension di Krull, teorema sulla dimensione delle fibre.
12 ore: Spazio tangente di Zariski. Lo spazio tangente immerso e lo spazio tangente invariante. Calcolo differenziale algebrico. Punti regolari e punti singolari. Sistemi di parametri locali.
16 ore: Insiemi algebrici proiettivi e quasi proiettivi. Varieta` di Segre, Veronese. Intersezioni nello spazio proiettivo. Teorema fondamentale (chiusura dell'immagine). Applicazioni, teorema di Bertini e il principio del "counting constants". Metodi didattici
- Lezioni frontale con esercizi, esempi, domande.
Modalità di verifica dell'apprendimento
- Esame scritto con esercizi tipici e esercizi più teorici.
Testi di riferimento
- R. Hartshorne, Algebraic Geometry, Berlin, Springer, 1977.
J. Harris, Algebraic Geometry - A First Course, Springer-Verlag, 1992.
I. Shafarevich, Basic Algebraic Geometry 1 - Varieties in projective spaces, Berlin, Springer-Verlag, 1974.
I. Dolgachev, Classical algebraic geometry - A modern view, Cambridge University Press, 2012.
