ELEMENTI DI METODI NUMERICI PER LA RAPPRESENTAZIONE DI DATI E LA SIMULAZIONE
Anno accademico e docente
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- English course description
- Anno accademico
- 2021/2022
- Docente
- GIACOMO DIMARCO
- Crediti formativi
- 6
- Percorso
- GENERALE
- Periodo didattico
- Primo Semestre
- SSD
- MAT/08
Obiettivi formativi
- Il corso si propone di fornire le basi della modellistica matematica tramite equazioni differenziali e dell'approssimazione numerica euclidea di dati e funzioni. Inoltre, verranno forniti strumenti per lo sviluppo di metodi numerici per la risoluzione di tali modelli e metodi per il calcolo di approssimanti ai minimi quadrati, sia nel caso continuo che nel caso discreto.
Il corso prevede una parte di ore dedicata all'attività di laboratorio, nella quale si fa uso anche dell'Optimization Toolbox di Matlab.
Le principali conoscenze fornite dal corso saranno:
- concetti di base per la modellistica numerica di problemi differenziali lineari alle derivate parziali: equazioni ellittiche, equazioni paraboliche, equazioni iperboliche, equazioni di diffusione e trasporto, leggi di conservazione, leggi di bilancio;
- concetti generali sul problema dell'approssimazione in norma in spazi funzionali, sia nel caso continuo che nel caso discreto;
- metodi di risoluzione numerica di equazioni differenziali basati su elementi finiti e differenze finite. Analisi della convergenza e della stabilità dei metodi principali. Aspetti algoritmici e di implementazione al calcolatore in più dimensioni;
- alcuni dei principali algoritmi per la soluzione dei problemi lineare e non lineare dell'approssimazione in norma euclidea, sia nel continuo che nel discreto;
- metodi di soluzione di equazioni differenziali lineari mediante approssimanti euclidei. Prerequisiti
- Per seguire il corso si raccomanda una buona conoscenza dei fondamenti del calcolo differenziale e dei fondamenti della matematica applicata. Una conoscenza di base del linguaggio Matlab è fortemente consigliata.
Contenuti del corso
- Il corso prevede complessivamente 48 ore di lezione, suddivise in due parti: una parte di complessive 24 ore riguardante le equazioni differenziali ordinarie e alle derivate parziali, una parte di complessive 24 ore riguardante l'approssimazione euclidea.
* Modulo di equazioni differenziali
Delle 24 ore complessive di lezione, sono previste 16 ore di lezioni teoriche e 8 ore di esercitazioni di laboratorio in Matlab. Gli argomenti trattati in questa parte saranno:
1. Richiami sulle equazioni alle derivate parziali: definizioni ed esempi.
2. Equazioni di diffusione: metodi alle differenze finite, metodi spettrali. Applicazioni alla propagazione del calore in una e due dimensioni.
3. Equazioni ellittiche: metodi alle differenze finite, metodi agli elementi finiti. Applicazioni alla meccanica dei solidi in una e due dimensioni.
4. Equazioni iperboliche lineari: metodi ai volumi finiti. Applicazioni alla diffusione di inquinanti nell'aria in una e due dimensioni.
* Modulo di approssimazione euclidea
Delle 24 ore complessive di lezione per questa parte, circa 18 saranno di lezioni teoriche ed il rimanente di esercitazioni con Matlab. La suddivisione oraria (indicata fra parentesi) potrà variare, anche sensibilmente, a seconda delle difficoltà incontrate dagli studenti nelle varie parti del programma.
Gli argomenti che verranno trattati nelle lezioni di questa parte saranno i seguenti:
1. Introduzione ai concetti fondamentali dell'Approssimazione Numerica; criteri di selezione dell'approssimante. (1)
2. Problema lineare dell'approssimazione: formulazione del caso continuo e del caso discreto in spazi Lp. Teorema fondamentale dell'approssimazione lineare in spazi Lp. (2)
3. Approssimazione ai minimi quadrati ordinari (OLS), caso continuo: polinomio generalizzato di migliore approssimazione; equazioni normali; polinomi algebrici, ortogonali e ortonormali; serie di Fourier generalizzata; disuguaglianza di Bessel, identità di Parseval. Cenni a: procedimento di Gram-Schmidt, convergenza in norma Euclidea, polinomi di Legendre, formula di Clenshaw-Curtis, serie di Fourier. (3)
4. Approssimazione OLS, caso discreto: equazioni normali, esistenza e unicità della soluzione; cenno all'accettabilità statistica del modello, interpretazione geometrica; pseudoinversa di Moore-Penrose; soluzione del sistema delle equazioni normali e suo condizionamento; caso di rango massimo e di rango incompleto; polinomi ortogonali nel discreto; soluzione del problema lineare mediante SVD; cenno all'interpretazione statisticae al Teorema di Gauss-Markoff. (7)
5. Minimi quadrati totali (TLS): separazione dei valori singolari, soluzione mediante SVD, unicità; relazione con OLS, condizionamento, sensitività; problema lineare di regressione della distanza ortogonale. (3)
6. Introduzione al problema non lineare dei minimi quadrati (NLS): concetti, metodi del prim'ordine: Gauss-Newton (G-N) e G-N rilassato; proprietà di discesa della direzione di G-N. (2)
7. Laboratorio: applicazione dei polinomi trigonometrici e della FFT all'approssimazione; esercizi per TLS e problema lineare della regressione della distanza ortogonale; introduzione all'Optimization toolbox; applicazioni della SVD. (6) Metodi didattici
- Il corso prevede lezioni teoriche in aula e/o in streaming su tutti gli argomenti del programma (35 ore complessive circa) e lezioni pratiche in laboratorio informatico e/o in streaming per la realizzazione degli algoritmi in ambiente Matlab e la loro prova su alcuni semplici problemi (13 ore complessive circa).
Modalità di verifica dell'apprendimento
- Obiettivo delle prove d'esame è la verifica di un adeguato livello di raggiungimento degli obiettivi formativi del corso, sia rispetto alle conoscenze, che rispetto alle abilità, includendo anche la parte di laboratorio in Matlab.
L'esame sarà composto di due parti, una pratica ed una teoria (solo orale).
La prova pratica consiste nella consegna degli esercizi svolti durante le ore di laboratorio e nello sviluppo di un progetto in ambiente Matlab, il cui argomento verrà scelto tra una serie di proposte fornite dai docenti. Al progetto andrà allegata una breve relazione sullo stesso.
La prova teorica prevede una discussione del progetto consegnato, integrata da domande che potranno riguardare tutti gli argomenti visti durante il corso.
Il punteggio finale è dato dalla somma, sogliata a 30 punti, della valutazione del progetto (corredato dagli esercizi Matlab) e della valutazione della prova orale. Ciascuna delle due valutazioni non può superare i 17 punti. La consegna degli elaborati in Matlab è obbligatoria: in mancanza, l'esame è compromesso. Testi di riferimento
- Per il modulo equazioni differenziali:
1) Modellistica Numerica per Problemi Differenziali. A. Quarteroni. Springer, 2008.
2) Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems. R. J. LeVeque. Cambridge University Press 2002.
3) Numerical Solution of Partial Differential Equations. An Introduction. 2nd Edition. K. W. Morton, D. F. Mayers, Cambridge University Press, 2005
4) E. F. Toro. Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics. Springer, 2009.
5) E. Godlewski, P.A. Raviart. Numerical Approximation of Hyperbolic Systems of Conservation Laws, Springer, 1996.
Per il modulo di approssimazione:
- Åke Björck, "Numerical Methods for Least Squares Problems", SIAM, 1996. ISBN-13: 978-0-898713-60-2. ISBN-10: 0-89871-360-9.
- Matlab Optimization Toolbox User's Guide
- Appunti del docente
