EQUAZIONI ALLE DERIVATE PARZIALI
Anno accademico e docente
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- English course description
- Anno accademico
- 2020/2021
- Docente
- ANDREA CORLI
- Crediti formativi
- 6
- Periodo didattico
- Primo Semestre
- SSD
- MAT/05
Obiettivi formativi
- Lo scopo del corso è di fornire una semplice introduzione analitica ad alcuni aspetti delle equazioni alle derivate parziali (EDP), motivata in larga parte dalle applicazioni, con particolare riferimento
(A): a quelle del primo ordine e
(B): alle equazioni paraboliche del secondo ordine.
A seconda degli interessi degli studenti gli argomenti potranno vertere maggiormente su (A) o su (B). Le motivazioni e le applicazioni per (A) vengono dalla dinamica dei fluidi e dai flussi di traffico; per (B) dalla biomatematica.
Le principali conoscenze acquisite saranno le seguenti.
I fenomeni fisici che vengono modellizzati da una EDP. Classificazione delle EDP. (A): Teoria dell'integrazione di una EDP lungo le caratteristiche; soluzioni deboli e forti; teoria dei sistemi di leggi di conservazione in una dimensione di spazio. (B) Teoria analitica delle equazioni paraboliche del secondo ordine; stabilità e instabiità (di Turing); traveling waves.
Le principali abilità sviluppate saranno le seguenti:
Interpretazione dei fenomeni fisici modellizzati da una EDP.
(A) Integrare una EDP lungo le caratteristiche; risolvere un problema di Riemann per un semplice sistema di EDP di conservazione. (B) Risolvere e discutere la stabilità di una equazione parabolica o di un sistema di equazioni paraboliche; studiare l'esistenza e le proprietà di una traveling wave. Prerequisiti
- Calcolo differenziale per una e più variabili reali. Equazioni differenziali ordinarie. Algebra lineare. Conoscenze elementari di Matlab o software analogo.
Contenuti del corso
- Generalità sulle equazioni a derivate parziali (circa 4 ore).
(A): La teoria delle caratteristiche. Il teorema di esistenza locale per problemi non caratteristici (circa 12 ore). La legge di conservazione scalare. Soluzioni deboli, onde d'urto e rarefazioni, condizioni di entropia. Il Problema di Riemann (circa 12 ore). Sistemi di leggi di conservazione. Soluzioni deboli; stretta iperbolicità. Onde progressive. Autovalori genuinamente non lineari e linearmente degeneri. Onde semplici. Rarefazioni, onde d'urto e discontinuità di contatto. Il problema di Riemann. Il problema di Riemann per il p-sistema. Varie applicazioni al modellizzazione di flussi di traffico veicolari (circa 14 ore).
(B): Equazioni di reazione-diffusione: buona positura ed esistenza globale delle soluzioni (circa 8 ore). Comportamento asintotico ed instabilità di Turing (circa 10 ore). Applicazione ad alcuni modelli di cinetica delle reazioni chimiche. Traveling waves; il sistema della chemiotassi (circa 20 ore). Metodi didattici
- Il corso è organizzato tramite lezioni in classe ed esercitazioni. Gli esercizi, di vario livello, proposti settimana per settimana, sono corretti singolarmente dal docente e discussi la settimana successiva con gli studenti. Gli studenti sono fortemente consigliati di impegnarsi in questa attività, sia per avere un controllo diretto del loro livello di apprendimento, sia per non avere una conoscenza meramente teorica del corso.
Modalità di verifica dell'apprendimento
- L'esame consiste in un colloquio sui temi del corso e verrà valutato come segue:
-) fino a 20 punti per la conoscenza della parte teorica;
-) fino a 10 punti per la parte pratica: verranno valutati gli esercizi svolti dagli studenti durante il corso e, in caso mancanti o non sufficienti, allo studente verrà richiesto di risolvere qualche semplice esercizio in sede d'esame.
Oltre alla comprensione degli aspetti tecnici, che coinvolgono in particolare l'utilizzo del calcolo differenziale in più variabili e i fondamenti dell'algebra lineare, lo studente dovrà dimostrare di aver capito i risvolti geometrici e in parte fisici o biologici della materia.
Gli esami possono essere svolti durante i normali periodi d'esame d'ateneo ma anche al di fuori di questi, compatibilmente con gli impegni didattici e di ricerca del docente. Per fissare una data, allo studente sarà sufficiente mettersi in comunicazione con il docente qualche giorno prima della data desiderata. Testi di riferimento
- (A): L.C. Evans: Partial differential equations, second edition. American Mathematical Society (2010).
Ulteriori testi di approfondimento:
A. Bressan: Hyperbolic systems of conservation laws. Oxford (2000).
J. Smoller: Shock waves and reaction-diffusion equations. Springer (1994).
(B): C. Mascia, E. Montefusco e A. Terracina: Biomat 1.0. La Dotta (2018).
Ulteriori testi di approfondimento:
J.D. Murray: Mathematical Biology: I. An Introduction. Third Edition. Springer (2001).
