NUMERICAL METHODS FOR PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS
Anno accademico e docente
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- English course description
- Anno accademico
- 2019/2020
- Docente
- GIACOMO DIMARCO
- Crediti formativi
- 9
- Periodo didattico
- Secondo Semestre
- SSD
- MAT/08
Obiettivi formativi
- Il corso si propone di fornire le basi della modellistica matematica tramite equazioni differenziali e gli strumenti per lo sviluppo di metodi numerici per la risoluzione di tali modelli.
Le conoscenze principali fornite dal corso sono:
-Concetti di base per la modellistica numerica di problemi differenziali alle derivate parziali: equazioni ellittiche, equazioni paraboliche, equazioni iperboliche, equazioni di diffusione e trasporto, leggi di conservazione, leggi di bilancio.
-Metodi di risoluzione numerica basati su elementi finiti, differenze finite, volumi finiti. Analisi della convergenza e della stabilità dei metodi principali. Aspetti algoritmici e di implementazione al calcolatore in più dimensioni.
Le principali competenze che gli studenti devono acquisire (cioè la capacità di applicare le conoscenze) saranno:
- Identificare i diversi tipi di equazioni differenziali alle derivate parziali;
- Essere in grado di valutare quale approccio è più efficace per un dato problema;
- Essere in grado di risolvere semplici problemi con equazioni differenziali alle derivate parziali con metodi diversi;
- Saper realizzare codici Matlab che permettono di calcolare la soluzione di un problema fisico che coinvolge equazioni alle derivate parziali. Prerequisiti
- Per seguire il corso si raccomanda una buona conoscenza dei fondamenti del calcolo differenziale. Una conoscenza di base del linguaggio Matlab è fortemente consigliata.
Contenuti del corso
- Il corso prevede 63 ore di lezione, delle quali 48 di lezioni teoriche e 15 ore di esercitazioni di laboratorio tramite l'utilizzo del software Matlab.
1. Richiami sulle equazioni alle derivate parziali: definizioni ed esempi, classificazione.
2. Equazioni di diffusione: metodi alle differenze finite, metodi spettrali. Applicazioni alla propagazione del calore in una e due dimensioni.
3. Equazioni ellittiche: metodi alle differenze finite, metodi agli elementi finiti. Applicazioni alla meccanica dei solidi in una e due dimensioni.
4. Equazioni iperboliche lineari: metodi ai volumi finiti. Applicazioni alla diffusione di inquinanti nell'aria in una e due dimensioni.
5. Equazioni iperboliche non lineari: onde d'urto e metodi ad alta risoluzione. Applicazioni al traffico stradale.
6. Sistemi di leggi di conservazione e di bilancio: metodi ai volumi finiti. Applicazioni alle equazioni di Eulero della dinamica dei fluidi in una dimensione e alle equazioni delle acque basse. Metodi didattici
- Il corso prevede lezioni teoriche in aula su tutti gli argomenti del programma (48 ore) e lezioni di laboratorio informatico per la realizzazione degli algoritmi in ambiente Matlab e la loro prova su alcuni semplici problemi (15 ore).
Modalità di verifica dell'apprendimento
- L'esame sarà composto di due parti, una pratica ed una teorica.
La prova pratica consiste nello svolgere un progetto applicato a scelta tra una serie di progetti proposti dal docente utilizzando l'ambiente Matlab e nel produrre una breve relazione sullo stesso.
La valutazione di tale progetto verrà poi integrata tramite una prova orale. Tale prova orale verterà su tutti gli argomenti visti a lezione durante il corso. Testi di riferimento
- 1) Modellistica Numerica per Problemi Differenziali. A. Quarteroni. Springer, 2008.
2) Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems. R. J. LeVeque. Cambridge University Press 2002.
3) Numerical Solution of Partial Differential Equations. An Introduction.
2nd Edition. K. W. Morton, D. F. Mayers, Cambridge University Press, 2005
4) E. F. Toro. Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics. Springer, 2009.
5) E. Godlewski, P.A. Raviart. Numerical Approximation of Hyperbolic Systems of Conservation Laws, Springer, 1996.
