PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS
Anno accademico e docente
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- English course description
- Anno accademico
- 2018/2019
- Docente
- DAVID JORNET CASANOVA
- Crediti formativi
- 6
- Periodo didattico
- Secondo Semestre
- SSD
- MAT/05
Obiettivi formativi
- Imparare le nozioni di base nell’ambito sugli spazi localmente convessi e dei principali operatori tra di essi. In particolare, operatori tra spazi di funzioni analitiche o differenziabili come gli operatori di moltiplicazione, composizione o operatori differenziali alle derivate parziali. Studiare spazi adeguati per le operazioni di derivazione. Più precisamente, spazi di funzioni infinitamente differenziabili, funzioni rapidamente decrescenti, spazi di funzioni analitiche reali, i loro duali. Analizzare gli operatori differenziali su di essi. Teorema di Malgrange-Ehrenpreis, soluzioni fondamentali ed ipoelliccità.
Prerequisiti
- Spazi di Banach ed operatori tra spazi di Banach. È consigliato aver seguito il corso di “Analisi funzionale”
Contenuti del corso
- 1. Convergenza di successioni di funzioni (2 ore)
a. Convergenza puntuale e uniforme
b. Serie di funzioni
i. Serie di potenze nel campo complesso
ii. Serie di Fourier
2. Spazi localmente convessi (10 ore)
a. Preliminari di topologia
b. Norme, seminorme, spazi normati e topologie
c. Operatori lineari e continui. Esempi. Operatori differenziali alle derivate parziali a coefficienti costanti.
3. Introduzione alla teoria delle distribuzioni di L. Schwartz (10 ore)
a. Funzioni test e distribuzioni.
b. Lo spazio delle funzioni rapidamente decrescenti.
c. Distribuzioni temperate.
d. Trasformata di Fourier.
4. Operatori alle derivate parziali I (10 ore)
a. Soluzioni fondamentali. Esempi.
b. Teorema di Malgrange-Ehrenpreis.
5. Operatori alle derivate parziali II (10 ore)
a. Operatori ipoellittici.
b. Operatori ellittici. Funzioni analitiche reali. Metodi didattici
- Le lezioni saranno svolte alla lavagna.
Si svolgeranno lezioni teoriche ed esercitazioni.
Nello svolgimento degli esercizi si cercherà anche di coinvolgere gli studenti. Verranno assegnati esercizi da svolgere a casa. Modalità di verifica dell'apprendimento
- Vari esercizi da svolgere a casa singolarmente, su ognuno degli argomenti del corso.
La valutazione si basa sulla correzione degli esercizi svolti, commentata insieme al singolo studente. Testi di riferimento
- Elementary Functional Analysis (Barbara MacCluer)
Composition operators and classical function theory (Shapiro, Joel)
Introduction to functional analysis (Meise, Reinhold)
Analisis real y complejo (Walter Rudin)
Functional analysis (Walter Rudin)
Distributions and Operators (Gerd Grubb)
