PROBLEMI INVERSI: METODI E APPLICAZIONI
Anno accademico e docente
Non hai trovato la Scheda dell'insegnamento riferita a un anno accademico precedente?
Ecco come fare >>
- English course description
- Anno accademico
- 2021/2022
- Docente
- GAETANO ZANGHIRATI
- Crediti formativi
- 6
- Percorso
- APPLICATIVO
- Periodo didattico
- Primo Semestre
- SSD
- MAT/08
Obiettivi formativi
- L'insegnamento intende introdurre studenti e studentesse agli aspetti matematici teorici di base dei problemi inversi lineari, nonché ad alcuni dei principali metodi e algoritmi di soluzione numerica. La classe dei problemi inversi descrive matematicamente quei problemi scientifici nei quali si vuole determinare la “causa” ignota che ha prodotto certi “effetti” osservabili e misurabili. Molte importanti applicazioni reali richiedono di risolvere problemi inversi, come la diagnostica medica per immagini o l’apprendimento automatico. Per questi motivi, l’insegnamento prevede di fornire le seguenti conoscenze:
- conoscenza degli strumenti matematici teorici per descrivere la classe dei problemi inversi lineari fra spazi di Hilbert;
- conoscenza delle basi teoriche di alcuni dei principali metodi di regolarizzazione, , sia di tipo Tikhonov, che di tipo iterativo, per risolvere problemi inversi in dimensione finita;
- conoscenza dell’interpretazione probabilistica della regolarizzazione dei problemi inversi;
- conoscenza di alcuni strumenti software utili per le applicazioni.
Al termine delle lezioni teoriche e di laboratorio, ci si aspetta che studenti e studentesse abbiano acquisito le seguenti abilità (intese come capacità di applicare le conoscenze):
- saper identificare alcuni dei principali modelli matematici associati a problemi mal posti;
- saper utilizzare la corretta formulazione per modellare semplici problemi inversi lineari;
- saper utilizzare opportunamente alcuni metodi di regolarizzazione di tipo Tikhonov e i metodi di regolarizzazione iterativa, nonché alcuni metodi di scelta del parametro di regolarizzazione;
- saper risolvere numericamente semplici problemi di deconvoluzione di immagini e di apprendimento automatico supervisionato,
- saper implementare codice Matlab per la soluzione dei suddetti problemi inversi. Prerequisiti
- Elementi di analisi numerica: metodi numerici per sistemi lineari e non lineari, metodi di approssimazione polinomiale euclidea, metodi di integrazione.¿Elementi di analisi funzionale: spazi di Hilbert, operatori limitati.¿Programmazione di base in linguaggio Matlab.
Contenuti del corso
- Gli argomenti trattai saranno i seguenti (fra parentesi le ore previste):
- problemi inversi lineari fra spazi di Hilbert di dimensione finita: operatori, mal posizione, mal condizionamento, risoluzione spettrale, pseudosoluzione, soluzione generalizzata, operatore inverso generalizzato, casi singolari. (6)
- algoritmi di regolarizzazione nel senso di Tikhonov: TSVD, Tikhonov. (10)
- metodi iterativi regolarizzanti: metodi di Landweber e del gradiente coniugato (CG). (10)
- scelta del parametro di regolarizzazione: principio di discrepanza di Morozov, generalized cross validation (GCV), L-curva. (6)
- approccio statistico ai problemi inversi: Maximum Likelihood e Maximum a Posteriori. (8)
- esempi di applicazioni: ricostruzione di immagini in tomografia computerizzata (CT), apprendimento automatico da esempi nel caso supervisionato (machine learning). (8)
Trattandosi di un insegnamento di nuovo istituzione, la suddivisione oraria è ipotetica e potrebbe subire variazioni (anche sensibili). Metodi didattici
- L’attività didattica sarà costituita da lezioni frontali, per un totale di circa 40 ore, dedicate agli aspetti teorici, e circa 8 ore di attività di laboratorio in Matlab, dedicate ad alcune delle applicazioni più rilevanti della teoria. Le lezioni frontali si svolgeranno in presenza in aula, salvo diversa disposizione dell’Ateneo.
Modalità di verifica dell'apprendimento
- Obiettivo delle prove d'esame è la verifica di un adeguato livello di raggiungimento degli obiettivi formativi del corso, sia rispetto alle conoscenze, che rispetto alle abilità, includendo anche la parte di laboratorio in Matlab.
L'esame è costituito da una prova orale, divisa in due parti:
- nella prima parte sono previste domande aperte su tutti gli argomenti svolti a lezione;
- nella seconda parte è prevista una discussione sugli esercizi di laboratorio in Matlab, sia quelli svolti a lezione che quelli assegnati, e la consegna al docente dei relativi sorgenti.
Il punteggio finale è dato dalla somma della valutazione della prima parte, che in generale non può superare i 28/30, e quella della seconda parte. Il punteggio massimo sulla seconda parte varia tra 2/30 e 10/30, a seconda della quantità di tempo che sarà stato possibile dedicare al laboratorio durante il corso: pertanto, questo non può essere noto a priori. Tuttavia, se non viene consegnato alcun esercizio di Matlab, l'esame è compromesso. Testi di riferimento
- - Appunti del docente
- M. Bertero, P. Boccacci, "Introduction to Inverse Problems in Imaging", IOP, Bristol, 1996.
- H.W. Engl, M. Hanke, A. Neubauer, "Regularization of Inverse Problems", Kluwer Academic Publishers, 1996.
- C. Vogel, "Computational methods for inverse problems", SIAM, 2002.
- J. Mueller, S. Siltanen, “Linear and Nonlinear Inverse Problems with Practical Applications”, SIAM, 2012.
