TEORIA DELLA MISURA E INTEGRAZIONE
Anno accademico e docente
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- English course description
- Anno accademico
- 2020/2021
- Docente
- MICHELE MIRANDA
- Crediti formativi
- 6
- Periodo didattico
- Secondo Semestre
- SSD
- MAT/05
Obiettivi formativi
- Obiettivo del corso e' l'apprendimento delle nozioni di teoria della misura astratta da applicare allo studio delle soluzioni di equazioni differenziali, sia in senso classico che in ambito stocastico. Obiettivo e' anche l'introduzione di alcuni problemi di calcolo delle variazioni e di teoria geometrica della misura.
Prerequisiti
- I prerequisiti di questo corso sono minimali; e' richiesta la conoscenza degli argomenti di Analisi 1 e 2 e Geometria.
Contenuti del corso
- PRIMA PARTE
Richiami sull’integrazione alla Riemann e suoi limiti. Algebre e sigma-algebre; misure ed esempi. Misure esterne; insiemi misurabili e criterio di Caratheodory. Misure metriche; esempi e misure di Hausdorff. Insieme di Cantor. (5 ore)
Funzioni misurabili; definizioni equivalenti. Funzioni misurabili; proprietà e approssimazione con funzioni semplici. Confronto tra insiemi Boreliani e insiemi misurabili secondo Lebesgue. Integrale delle funzioni misurabili. Chebychev e conseguenze. Teoremi di convergenza; monotona, Beppo Levi, Fatou e Lebesgue. Confronto tra integrale di Riemann e Lebesgue; integrale di Riemann Stietjies. (5 ore)
Famiglie di Dynkin e pi-sistemi. Introduzione alla misura prodotto. Teorema di Fubini e disintegrazione di misure. Convergenze; in misura, quasi ovunque, quasi uniforme, in media. Confronti tra le varie convergenze; Teoremi di Borell-Cantelli e Egorov. Teorema di Lusin; introduzione agli spazi di Lebesgue; definizione e completezza. (5 ore)
Misure vettoriali e con segno; misura variazione totale e finitezza delle misure vettoriali. Struttura di spazio di Banach e dualità’ con le funzioni continue; convergenza debole
di misure. Decomposizione di Jordan e di Hahn. Teorema di Radon-Nikodym e di Besicovitch. Teorema di Besicovitch-Vitali e Teorema di derivazione di Besicovitch. Generelizzazioni del Teorema di derivazione di Besicovitch. Punti di Lebesgue per funzioni sommabili. (6 ore)
SECONDA PARTE
Funzioni continue (5 ore)
- modulo di continuità di una funzione continua
- famiglie di funzioni continue
- proprietà delle funzioni Lipschitziane e delle funzioni convesse su un aperto di $R^N$
Analisi convessa (5 ore)
- funzioni convesse su spazi vettoriali normati
- trasformata di Fenchel-Legendre
- sottogradienti e calcolo sottodifferenziale
- disuguaglianza di Fenchel-Young
- teorema di Fenchel-Moreau
Problemi di Monge-Kantorovich (9 ore)
- introduzione al problema: il classico problema di Monge
- mappe di trasporto
- esempi e controesempi
- piani di trasporto
- la riformulazione di Kantorovich
- esistenza di una soluzione per il problema di Kantorovich
- funzioni c-concave e c-trasformata
- problema duale
- esistenza per il problema duale
- potenziali di Kantorovich
- teorema di dualità
- condizioni di ottimalità primali-duali
- teorema di Ambrosio-Sudakov
- teorema di Brenier-McCann
Alcune applicazioni (2 ore)
- la disuguaglianza isoperimetrica tramite la dimostrazione di Knothe-Gromov Metodi didattici
- Il corso e' teorico che si basa su lezioni in aula; durante le lezioni si cerchera' di esporre esempi e applicazioni delle nozioni acquisite.
Modalità di verifica dell'apprendimento
- L'esame consiste in un colloquio orale della durata approssimativa di 45 minuti; durante tale colloquio
verranno poste al candidato due domande, una
sulla prima parte del corso ed una sulla seconda parte. Testi di riferimento
- I testi di riferimento per la prima parte del corso sono
"Measure Theory", Donald Cohn,
Birkhäuser, Boston, Mass., 1980.
"Real analysis and probability", Richard Dudley,
The Wadsworth & Brooks/Cole Mathematics Series. Wadsworth & Brooks/Cole Advanced Books & Software, Pacific Grove,1989.
mentre per la seconda parte del corso il testo di riferimento e'
"Topics in optimal transportation", Cedric Villani,
Graduate Studies in Mathematics, 58. American Mathematical Society, Providence, RI, 2003.
Se possibile, verranno rese disponibili anche degli
appunti parziali del corso, reperibili sul sito web del corso.
