ANALISI MATEMATICA II
Anno accademico e docente
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- English course description
- Anno accademico
- 2021/2022
- Docente
- ALESSIA ASCANELLI
- Crediti formativi
- 10
- Periodo didattico
- Primo Semestre
- SSD
- MAT/05
Obiettivi formativi
- Lo scopo del corso è quello di acquisire (conoscenza e) dimestichezza con le funzioni di più variabili reali (a valori reali e a valori vettoriali) e con teoria della misura e dell'integrazione di Lebesgue.
Le principali conoscenze fornite dal corso sono:
- convergenza uniforme per successioni di funzioni e passaggio al limite sotto il segno di integrale;
- serie di funzioni, serie di potenze e serie di Fourier;
- funzioni di più variabili reali a valori reali e a valori vettoriali: limiti, continuità e differenziabilità;
- misura ed integrale di Lebesgue, teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale;
- curve in R^n (in particolare in R^3) ed integrali curvilinei, superfici due dimensionali in R^3 ed integrali di superficie;
- teorema del Dini sulle funzioni implicite e teorema di invertibilità locale;
- teorema dei moltiplicatori di Lagrange, massimi e minimi relativi per funzioni di più variabili sia liberi che vincolati;
- forme differenziali;
- teoremi di Gauss-Green, della divergenza, di Stokes.
Le principali abilità che gli studenti devono acquisire sono:
-riconoscere il tipo di convergenza di una successione di funzioni;saper individuare l'insieme di convergenza di una serie di funzioni;
- stabilire il dominio di una funzione di più variabili e saper dire se è limitata, continua, differenziabile o di classe C^k;
- calcolare un integrale doppio o un integrale triplo;
- calcolare la lunghezza di una curva e la sua curvatura, calcolare integrali di linea;
- calcolare l'area di una superficie o la sua curvatura media, calcolare integrali di superficie;
- saper usare il teorema del Dini;
- determinare i punti di massimo e di minimo relativi per funzioni di più variabili sia liberi che vincolati;
- saper dire se una forma differenziale è esatta o no e calcolarne le primitive. Prerequisiti
- Conoscenza delle serie numeriche, del calcolo differenziale e del calcolo integrale (teoria di Riemann) per funzioni di una variabile.
Contenuti del corso
- Il corso si svolge nel primo semestre e consiste di 80 ore complessive di lezioni frontali di cui la metà circa sono dedicate allo studio di esempi e allo svolgimento di esercizi.
I contenuti sono:
- successioni e serie di funzioni (14 ore).
Successioni di funzioni: convergenza puntuale ed uniforme, teoremi sulla continuità del limite uniforme, passaggio al limite sotto il segno di integrale, derivazione sotto il segno di integrale.
Serie di funzioni: convergenza puntuale, assoluta, uniforme e totale, teoremi di continuità, passaggio al limite, integrazione, derivazione per serie di funzioni. Serie di potenze: calcolo del raggio di convergenza, serie derivata e regolarità della somma di una serie di potenze, integrazione e derivazione termine a termine. Sviluppi in serie di Taylor. Serie di Fourier: determinazione dei coefficienti, disuguaglianza di Bessel e sviluppabilità in serie di Fourier delle funzioni regolari a tratti.
- calcolo differenziale per funzioni di più variabili reali (15 ore);
Lo spazio R^n. Calcolo di limiti. Continuità. Derivate parziali, gradiente, derivate direzionali, differenziabilità, piano tangente. Differenziabilità e continuità. Teorema del differenziale totale. Derivate seconde, matrice hessiana, teorema di Schwarz. Formula di Taylor per funzioni di più variabili. Caratterizzazione delle funzioni a gradiente nullo. Massimi e minimi per funzioni di più variabili: teorema di Fermat, punti stazionari, punti di sella. Forme quadratiche e loro proprietà. Condizioni necessarie e sufficienti al secondo ordine per massimi e minimi. Test delle derivate seconde per funzioni di 2 variabili.
Funzioni a valori vettoriali e differenziabilità della funzione composta.
- misura ed integrale di Lebesgue (20 ore):
Sigma algebre, misure positive, proprietà. Misura di Lebesgue: misura degli aperti e dei compatti, costruzione della misura di Lebesgue in R^n. Misura in senso generalizzato. Funzioni misurabili e costruzione dell'integrale di Lebesgue. Misura negli spazi prodotto e Teorema di Fubini, formule di riduzione per un integrale multiplo. Formula del cambiamento di variabile nell’integrale multiplo. Coordianate polari, sferiche, cilindriche. Volume di un solido di rotazione. Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale: teorema di Beppo Levi, lemma di Fatou, teorema della convergenza dominata di Lebesgue, teorema di derivazione sotto il segno di integrale.
- curve e superfici (12 ore);
Curve regolari, semplici, chiuse. Sostegno, eq. parametriche, curve piane, curve cartesiane, curve in forma polare. Vettore tangente, retta tangente. Lunghezza di una curva, curve rettificabili, curve equivalenti. Integrali curvilinei.
Superfici regolari due–dimensionali in R^3, superfici equivalenti, piano tangente e versore normale. Area di una superficie e integrali superficiali. Superfici cartesiane edi rotazione.
Masse, baricentri, momenti di inerzia. Formule di Gauss-Green nel piano e nello spazio. Teorema della divergenza e teorema di Stokes.
- forme differenziali (6 ore).
Forme differenziali, lavoro delle forze di un campo. Forme esatte e chiuse. Integrale di una forma differenziale lungo una curva. Caratterizzazione delle forme differenziali esatte e calcolo delle primitive. Forme differenziali chiuse in domini stellati e semplicemente connessi.
- teorema del Dini sulle funzioni implicite, massimi e minimi vincolati per funzioni di più variabili (13 ore).
Teorema del Dini per funzioni di due e tre variabili. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange per funzioni di due e tre variabili. Teorema del Dini per sistemi di due equazioni. Massimi e minimi vincolati. Teorema del Dini e Teorema dei moltiplicatori di Lagrange nella formulazione più generale (solo enunciato). Teorema sull’invertibilità locale di una funzione. Metodi didattici
- Il corso prevede lezioni teoriche, accompagnate da esercitazioni alla lavagna su tutti gli argomenti svolti.
Modalità di verifica dell'apprendimento
- Obiettivo delle prove d'esame è la verifica di un adeguato livello di raggiungimento degli obiettivi formativi del corso, sia rispetto alle conoscenze, ma soprattutto rispetto alle abilità.
L'esame è costituito da una prova scritta, mirata a valutare la capacità dello studente di risolvere problemi ed esercizi, e da una prova orale, mirata a valutare le conoscenze teoriche. La prova scritta si ritiene superata se si raggiunge il voto di 16 su 31.
LE PROVE SCRITTE E LE PROVE ORALI DELL'A.A.2021/22 SI SVOLGERANNO IN PRESENZA, salvo diverse disposizioni dall'alto.
Il voto finale dell'esame di Analisi Matematica II è determinato da:
- un voto per lo scritto, che deve essere maggiore o uguale a 16;
- una valutazione della prova orale, che deve essere maggiore o uguale a 18.
Il voto finale viene calcolato attraverso la formula: se S e' il voto dello scritto (da 0 a 31) e O e' il voto dell'orale (da 0 a 31) allora posto m=minimo {S,O} e M=massimo {S,O}, il voto finale e' dato dalla parte intera di V= (2m+3M):5+1, arrotondato al numero intero piu' vicino.
Le prove scritte sono cosi' distribuite:
3 scritti tra gennaio e febbraio;
2 scritti tra giugno e luglio;
1 scritto a settembre.
Se richiesto da più studenti, è possibile fissare altri due appelli straordinari in altri periodi dell'anno.
Dopo il superamento dello scritto, si deve completare l'esame con la prova orale entro la stessa sessione in cui si è sostenuto lo scritto. Testi di riferimento
- Nicola Fusco-Paolo Marcellini-Carlo Sbordone: Analisi Matematica due, Liguori Editore, Napoli, 1996.
Enrico Giusti: Analisi Matematica 2. Bollati Boringhieri, 2008
Carlo Domenico Pagani, Sandro Salsa: Analisi Matematica 2. Zanichelli, 2020
