ANALISI MATEMATICA III
Anno accademico e docente
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- English course description
- Anno accademico
- 2022/2023
- Docente
- DAMIANO FOSCHI
- Crediti formativi
- 6
- Periodo didattico
- Primo Semestre
- SSD
- MAT/05
Obiettivi formativi
- Questo è il terzo ed ultimo corso fondamentale di Analisi Matematica che lo studente incontra nel triennio. In esso vengono presentati i teoremi basilari e le principali tecniche di analisi reale e complessa, nonchè alcune loro applicazioni.
L'obiettivo principale del corso è far conoscere allo studente la struttura e proprietà principali di spazi normati, spazi L^p, spazi di Hilbert, serie di Fourier, trasformata di Fourier, spazi di distribuzioni, rendendolo capace di lavorare autonomamente in tali spazi e con tali strumenti.
Il secondo obiettivo è far capire allo studente, mediante esempi ed esercizi, come questi spazi e questi strumenti siano ampiamente utilizzati non solo in matematica ma anche in fisica, ingegneria, e nelle altre scienze.
Le principali conoscenze acquisite saranno:
- conoscenza degli spazi L^p e dei principali teoremi connessi
- conoscenza del concetto di convoluzione tra due funzioni misurabili
- conoscenza del concetto di operatore lineare limitato tra spazi di Banach e norma dell'operatore
- conoscenza del concetto di spazio di Hilbert, dei principali esempi, delle proprietà, dei principali teoremi, in particolare proiezioni ortogonali
- conoscenza della serie di Fourier in L^2 e delle sue proprietà di convergenza
- conoscenza della trasformata di Fourier in L^1 e L^2, delle sue principali proprietà, dei teoremi di inversione.
- conoscenza del concetto di distribuzione e delle principali operazioni sulle distribuzioni
Le principali abilità acquisite saranno:
- capacità di riconoscere funzioni L^p ed operare con esse, utilizzando in maniera autonoma strumenti quali le disuguaglianze di Hölder e Minkowski
- capacità di riconoscere convoluzioni ed operare con esse, riconoscendo i supporti e le proprietà di regolarità del risultato di una convoluzione
- capacità di studiare la linearità e continuità di un operatore tra spazi di Banach
- capacità di riconoscere spazi di Hilbert, saper operare autonomamente con essi, in particolare con le proiezioni ortogonali
- capacità di calcolare la serie di Fourier di funzioni periodiche regolari a tratti
- capacità di calcolare la trasformata di Fourier di funzioni e di utilizzare le proprietà della trasformata
- capacità di risolvere autonomamente mediante serie o trasformata di Fourier equazioni differenziali alle derivate parziali Prerequisiti
- E' necessario aver acquisito ed assimilato i contenuti degli insegnamenti di Analisi I e II,
e avere buona conoscenza dei concetti di base di Topologia. Contenuti del corso
- Il programma del corso è il seguente:
- Spazi normati (10 ore)
Definizione di norma e di spazio normato. Esempi in dimensione finita e infinita. Equivalenza di norme.
Definizione di Spazio di Banach.
Applicazioni lineari tra spazi normati. Continuità e limitatezza.
Norma operatoriale. Esempi di calcolo o stime di norme operatoriali.
Completezza dello spazio delle applicazioni lineari tra uno spazio normato e uno spazio di Banach.
- Spazi L^p (10 ore)
Norma L^p. Disuguaglianze di Young, Hölder, Minkowski. Norma L^\infty.
Definizione degli spazi L^p.
Inclusioni tra spazi L^p. Approssimazione della norma L^\infty con norme L^p.
Completezza degli spazi L^p.
Confronto tra convergenza puntuale quasi ovunque, convergenza in norma L^p, convergenza uniforme.
Proprietà di approssimazione in L^p. Densità delle funzioni semplici e delle funzioni continue in L^p.
Continuità della norma L^p rispetto alle traslazioni.
Disuguaglianza integrale di Minkowski.
Prodotto di convoluzione di due funzioni. Stime di Young per convoluzioni di funzioni in spazi L^p.
Proprietà di regolarità del prodotto di convoluzione.
Approssimazioni dell'identità tramite convoluzioni. Mollificatori.
Densità in L^p delle funzioni regolari a supporto compatto.
- Spazi di Hilbert (10 ore)
Prodotto scalare. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz e disuguaglianza triangolare.
Identità del parallelogramma. Formule di polarizzazione.
Definizione ed esempi di spazi di Hilbert.
Teorema della norma minima.
Ortogonalità. Proiezioni ortogonali su sottospazi chiusi.
Decomposizione ortogonale di spazi di Hilbert.
Teorema di rappresentazione di Riesz.
Sistemi ortonormali. Disuguaglianza di Bessel.
Caratterizzazione delle basi ortonormali in spazi di Hilbert.
Serie di Fourier astratta. Identità di Parseval e Plancherel.
- Serie di Fourier (8 ore)
Polinomi trigonometrici.
Nuclei di Dirichlet e nuclei di Fejer.
Serie di Fourier di funzioni in L^2.
Completezza del sistema trigonometrico.
Serie di Fourier per i segnali fondamentali: onda quadra, onda a dente di sega, onda triangolare.
Convergenza puntuale della serie di Fourier per funzioni regolari a tratti.
- Trasformata di Fourier (10 ore)
Come si passa dalla serie alla trasformata di Fourier.
Trasformata di Fourier per funzioni di L^1, definizione ed esempi.
Lemma di Riemann-Lebesgue.
Comportamento della trasformata rispetto alle operazioni di traslazione, dilatazione, derivazione, moltiplicazione per una potenza, convoluzione.
Trasformata di Fourier della Gaussiana.
Formula dello scambio del cappello.
Trasformata di una trasformata. Formula di inversione.
Trasformata di Fourier per funzioni di L^2. Proprietà isometriche della trasformata in L^2.
Applicazioni allo studio di equazioni alle derivate parziali lineari.
Principio di indeterminazione di Heisenberg. Metodi didattici
- Il corso prevede 48 ore di lezione in aula con presentazione alla lavagna degli aspetti teorici, delle applicazioni e di esercizi.
Vi saranno inoltre appuntamenti periodici di tutorato (due ore alla settimana circa) con svolgimento di esercizi e ripasso degli argomenti svolti. Modalità di verifica dell'apprendimento
- La verifica dell'apprendimento dei contenuti del corso avviene tramite esercizi svolti a casa e un esame finale. Per poter accedere all'esame finale è necessario aver dimostrato di aver svolto gli esercizi assegnati per casa.
L'esame si articola in due prove:
- una prova scritta della durata di 3 ore in cui allo studente viene richiesto di risolvere alcuni esercizi (generalmente 4)
- una prova orale alla lavagna, che consiste in un colloquio riguardante gli argomenti teorici del corso. Allo studente si chiede di discutere alcuni dei teoremi studiati e delle loro applicazioni.
Risulta ammesso alla prova orale chi riporta un voto maggiore o uguale a 15 alla prova scritta.
La prova orale deve essere sostenuta nell'ambito della stessa sessione d'esami della prova scritta, e comunque prima dell’inizio della successiva sessione.
Il voto finale tiene conto di entrambe le prove. Esso non è dato dalla media aritmetica tra il voto conseguito nella prova scritta e quello conseguito nella prova orale, bensì da una valutazione complessiva del livello di preparazione dello studente.
Nella sessione invernale ci sono almeno 2 possibilità di sostenere sia lo scritto che l'orale, le date vengono concordate in aula con gli studenti presenti a lezione. Nelle altre sessioni ci sono una o più possibilità di sostenere l'esame, dipendentemente dalle richieste degli studenti. Testi di riferimento
- - dispense delle lezioni, con esercizi, forniti dal docente
- G.Gilardi, Analisi 3, McGraw Hill
- E. Lieb & M. Loss, Analysis, American Mathematical Society
- R. Strichartz, A Guide to Distribution Theory and Fourier Transforms, World Scientific
- W. Rudin, Analisi reale e complessa, Bollati Boringhieri
- F.Treves, Topological vector spaces, Accademic Press
- L.Zanghirati, Appunti di Analisi V, in rete
- R.Agliardi, M.Cicognani, A.Corli: Esercizi di Istituzioni di Analisi Superiore, in biblioteca.
