Programma del corso

Obiettivi Formativi

Il corso di Analisi Numerica II  ha l’obiettivo di completare le conoscenza e competenze acquisite nel corso di Analisi Numerica I,  affrontando tematiche e metodi avanzati,  con attenzione alle questioni di stabilità numerica e di complessità.

Le conoscenze che il corso intende fornire riguardano  la soluzione numerica di sistemi non lineari, i metodi per la derivazione numerica e l’integrazione numerica,  i metodi per la risoluzione di sistemi di equazioni differenziali con condizioni iniziali e condizioni ai limiti.

Il corso inoltre intende sviluppare negli studenti la capacità di  affrontare e risolvere i problemi di calcolo scientifico riconducibili alle tematiche oggetto del corso,  fino alla realizzazione di script in un  ambiente di calcolo e di visualizzazione scientifica e alla successiva analisi di accuratezza dei i risultati ottenuti.

The aim of this course is to complete the knowledge and the skills acquired in the course “Analisi Numerica I (Numerical Analysis I)”, with advanced topics and methods, with special focus on numerical stability and complexity.

The knowledge provided by this course regards numerical solution of nonlinear systems, numerical methods for derivation and integration, methods for the solution of differential equation systems with initial and boundary conditions.

Moreover, this course aims to develop student’s ability to adress and solve scientific computing problems, related to the topics of the lectures, until to the implementation of scripts in interactive computing and scientific visualization environments  and the analysis of the numerical results.

Prerequisiti

Si presuppone che lo studente abbia acquisito e assimilato  le conoscenze fornite nel corso di Analisi Numerica I; in particolare lo studente deve conoscere le problematiche dovute all'uso dell'aritmetica finita, i metodi numerici per la risoluzione di sistemi lineari e le fattorizzazioni LU e QR;  le tecniche di interpolazione polinomiale e polinomiale a tratti, i metodi per le equazioni non lineari.  Si assume che o studente abbia già acquisito la competenze di base sull’uso di Matlab.

Inoltre lo studente deve avere le conoscenze fornite dai corsi di Analisi Matematica I (successioni, serie,  integrali, sistemi di equazioni differenziali ordinarie) e di Geometria I (algebra lineare).

It is supposed that the students has well acquired the knowledge from the course “Analisi Numerica I (Numerical Analysis I)”; in particular, the student has to know the topics related to finite arithmetic, numerical methods for solving linear system and QR and LU factorization, polynomial interpolating  techniques and piecewise polynomial interpolating techniques, numerical methods for nonlinear equations. It is assumed that the student has the basic knowledge for using Matlab. Moreover, the student has to have fully understood the main topics from the course of “Analisi Matematica I (Mathematical Analysis I)” (sequences, series, integrals, O.D.E. Systems) and “Geometria I (Geometry I)” (linear algebra).

Contenuti

Il corso prevede 48 ore di didattica, durante le quali si alternerà  la  teoria sui metodi numerici alla realizzazione in laboratorio di simulazioni numeriche basate sulla implementazione dei metodi e la relativa analisi e valutazione in termini di efficienza ed efficacia .

Sistemi non lineari (metodi del punto fisso, convergenza locale e globale, classi di Newton e quasi Newton, globalizzazione dei metodi, metodi inesatti). (10 ore)

Formule di derivazione numerica (tecnica di estrapolazione di Richardson); stabilità. Formule di integrazione numerica: grado di precisione e stabilità. Formule interpolatorie (Newton-Cotes); teorema di convergenza di Polya; formule di quadratura composte e loro convergenza. Metodo di Romberg e metodi adattivi. Formule di Gauss. Cenni all'integrazione multipla.  (15 ore)

Generalità sui problemi di Cauchy: ben posizione e stabilità di Lyapunov. Metodi ad un passo: metodi di Taylor e di Runge Kutta; consistenza, 0-stabilità, convergenza e analisi dell'errore; metodi di Runke Kutta a passo variabile. Metodi multipasso (lineari espliciti o impliciti e metodi predictor-corrector): condizioni di consistenza, 0-stabilità e convergenza; barriera di Dahlquist. Assoluta stabilità e  stiffness. Metodi BDF. (18 ore)

Problemi ai limiti: metodi di puntamento, collocazione e differenze finite. (5 ore)

48 hours are scheduled, divided in theory about  the numerical methods and in numerical simulation  in I.T. Laboratory;  these simulations are based on the implementation of the methods studied in class; the analysis regarding efficiency and effectiveness will be performed.

Nonlinear systems (fixed point method, local and global convergence, Newton and quasi-Newton methods, method globalization, inexact method); (10 hours).

Numerical derivation formulae (Richardson's estrapolation technique); stability. Numerical integration formulae: precision and stability. Interpolating formulae (Newton-Cotes); Polya's convergence theorem; composite quadrature formulas and convergence: Romberg's methods and adaptive methods. Gauss' formulae. Mention on multiple integration (15 hours).

Introduction on the Cauchy problems: well-position and Lyapunov stability; one-step methods: Taylor’s series methods andRunge-Kutta methods; consistency, 0-stability, convergence and error analysis; variable-step Runge-Kutta methods. Multistep methods (linear, explicit, implicit, predictor corrector methods): consistency, 0-stability and convergence;Dahlquist barrier. Absolute stability and stiffness. BDF methods. (18 hours).

Boundary problems. Shooting , collocation and finite difference methods (5 hours)

Metodi didattici

Sono previste lezioni su tutti gli argomenti del corso; durante le lezioni la trattazione teorica è accompagnata da esercitazioni di laboratorio in cui vengono affrontati problemi applicativi in cui utilizzare l’implementazione dei metodi descritti in ambito Matlab. Durante il corso vengono assegnate esercitazioni di laboratorio da svolgere individualmente.

Lectures on all the topics previously stated are scheduled. During the lessons the theoretical discussion is supported by exercises in I.T. laboratory where applied problems are faced and solved by implementing in MatLab the methods.  Several exercises will be assigned during the course: such exercises have to be solved individually.

Modalità di verifica dell’apprendimento

L’obiettivo della prova d’esame consiste nel verificare il livello di raggiungimento degli obiettivi formativi precedentemente indicati.

L’esame è costituita da una prova orale, volta a verificare la conoscenza dei metodi trattati nel corso  e a discutere i risultati delle esercitazioni di laboratorio individuali assegnate durante il corso.  Da tale discussione scaturisce la padronanza acquisita dallo studente delle metodologie apprese.

La prova orale si intende superata se si consegue una valutazione pari almeno a 18 punti.

The aim of the final exam consists in verifying the level of knowledge of the formative objectives previously stated.

The final exam consists in an oral test, dedicated to verify the knowledge of the methods explained during the course and to discuss the results obtained in the individual assigned exercise.

This discussion allows understand the level of knowledge and skills acquired by the students on the methods learned.

The oral test is successfully passed if a score of almost 18 is achieved.

Testi di riferimento

Appunti del docente

Testi di approfondimento

L.W.Johnson, R.D. Riess: Numerical Analysis, second edition, Addison Wesley 1982;

V.Comincioli - Analisi numerica - McGraw Hill, 1990;

Burden R. L., Faires J.D., Numerical Analysis, Prindle Weber & Schmidt, Boston MA. 1985.

Teacher’s handouts

Reference Texts

L.W.Johnson, R.D. Riess: Numerical Analysis, second edition, Addison Wesley 1982;

V.Comincioli - Analisi numerica - McGraw Hill, 1990;

Burden R. L., Faires J.D., Numerical Analysis, Prindle Weber & Schmidt, Boston MA. 1985.