EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE
Anno accademico e docente
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- English course description
- Anno accademico
- 2022/2023
- Docente
- DAMIANO FOSCHI
- Crediti formativi
- 6
- Periodo didattico
- Secondo Semestre
- SSD
- MAT/05
Obiettivi formativi
- I principali obiettivi formativi del corso sono:
* Introdurre lo studente ai concetti e alle problematiche principali legate alle equazioni differenziali ordinarie.
* Fornire metodi per la risoluzione di equazioni e sistemi di equazioni differenziali lineari e non lineari.
* Fornire strumenti per lo studio qualitativo delle soluzioni di un'equazione differenziale.
Le principali conoscenze acquisite saranno:
* esempi concreti di modelli di equazioni differenziali ordinarie;
* classificazione ed esempi di varie tipologie di equazioni differenziali ordinarie;
* studio di equazioni differenziali scalari a variabili separabili o ad esse riconducibili;
* studio di equazioni e sistemi differenziali lineari a coefficienti costanti;
* esponenziale di una matrice;
* teoria generale di base: teoremi di esistenza e unicità per soluzioni locali del problema di Cauchy;
* prolungamento di soluzioni e comportamento delle soluzioni massimali;
* disequazioni differenziali, lemma di Gronwall e teoremi dl confronto;
* analisi qualitativa delle soluzioni di un'equazione scalare.
Le principali abilità (ossia la capacità di applicare le conoscenze acquisite) saranno quelle di saper:
* impostare un sistema di equazioni differenziali a partire dalla descrizione del modello fisico del problema;
* trasformare un sistema di equazioni differenziali ordinarie in un sistema del primo ordine e/o in forma normale;
* risolvere equazioni scalari a variabili separabili, o equazioni ad esse riconducibili;
* risolvere equazioni scalari lineari omogenee e non omogenee del primo ordine a coefficienti variabili;
* risolvere equazioni scalari lineari omogenee e non omogenee di ordine superiore a coefficienti costanti;
* risolvere sistemi lineari del primo ordine omogenei e non omogenei a coefficienti costanti;
* applicare il metodo di riduzione per abbassare l'ordine di un'equazione lineare o la dimensione di un sistema lineare quando si conosce una sua soluzione;
* calcolare l'esponenziale di una matrice;
* dimostrare, con diversi metodi, l'esistenza e unicità di soluzioni del problema di Cauchy sotto opportune ipotesi;
* classificare le soluzioni massimali di un'equazione differenziale in base al loro comportamento ai limiti;
* disegnare il grafico qualitativo di soluzioni di equazioni differenziali scalari senza risolvere esplicitamente l'equazione. Prerequisiti
- Calcolo differenziali e integrale per funzioni in una e in più variabili reali.
Concetti di base dell'algebra lineare delle matrici.
Numeri complessi: radici ennesime,rappresentazione polare ed esponenziale.
Rappresentazione nel piano cartesiano di grafici e curve. Contenuti del corso
- *Prime definizioni (equazioni differenziali ordinarie, forma normale e non, ordine, sistemi di equazioni differenziali ordinarie, problema di Cauchy). Motivazioni ed esempi. Teoria generale di base per problemi di Cauchy associati al l’equazione y’=f(t,y): esistenza e unicità locale della soluzione in ipotesi di Lipschitz usando l'approssimazione di Picard.
[7 ore]
* Prolungamenti di una soluzione. Unicita’ in grande. Soluzioni massimali e teorema di esistenza di soluzioni massimali. Lemma di Gronwall. Teorema di esistenza globale. Teorema di fuga dai compatti. Teorema sul comportamento di una soluzione massimale. Teorema dell'asintoto orizzontale e dell'asintoto verticale. Esempi.
[7 ore]
*Metodi di risoluzione per equazioni differenziali:
-equazioni a variabili separabili
- equazioni riconducibili a variabili separabili (omogenee..)
- equazioni riconducibili a lineari del primo ordine (Bernoulli, Riccati...)
-1-forme ed equazioni differenziali
- Equazione di Clairaut
- Equazioni autonome
- Discussione e risoluzione di problemi di Cauchy associati ad essi
[7 ore]
*Studio qualitativo delle soluzioni di un'equazione differenziale del primo ordine in forma normale. Sottosoluzioni e soprasoluzioni. Teorema del confronto. Teorema di monotonia.
[7 ore]
*Esistenza per il problema di Cauchy nell'ipotesi di sola continuità. Teorema di Ascoli-Arzelà. Teorema di Peano.
[5 ore]
* Sistemi lineari omogenei del primo ordine: Soluzioni indipendenti e matrice wronskiana. Matrice soluzione. Matrice fondamentale (o risolvente). Caso A costante: definizione di esponenziale di una matrice e calcolo usando la forma di Jordan. Sistema lineare del primo ordine completo: metodo di variazione delle costanti.
[8 ore]
*Equazioni differenziali lineari di ordine n. Equazioni di ordine n a coefficienti costanti. Polinomio caratteristico. Equazioni riconducibili a lineari di ordine n (Eulero..). Metodo di d’Alembert per la riduzione dell’ordine di una equazione. Metodo di variazione delle costanti.
[7 ore] Metodi didattici
- * 48 ore di lezioni di teoria, applicazioni ed esercizi. Lo svolgimento di esercizi sarà parte integrante della trattazione di ogni argomento. La presentazione dei teoremi principali è accompagnata dalla loro dimostrazione, dalla discussione di esempi, applicazioni e dallo svolgimento di esercizi che ne richiedono l'utilizzo. Vengono proposti esercizi da svolgere autonomamente e la cui risoluzione viene discussa successivamente. Vengono messi a disposizione degli studenti, tramite classroom, una dispensa con gli argomenti del corso e i compiti assegnati nei precedenti esami scritti insieme alle loro risoluzioni.
Modalità di verifica dell'apprendimento
- La verifica dell'apprendimento dei contenuti del corso avviene tramite esercizi svolti a casa e un esame finale. Per poter accedere all'esame finale è necessario aver dimostrato di aver svolto gli esercizi assegnati per casa.
L'esame si articola in due prove:
- una prova scritta della durata di 3 ore in cui allo studente viene richiesto di risolvere alcuni esercizi (generalmente 4)
- una prova orale alla lavagna, che consiste in un colloquio riguardante gli argomenti teorici del corso. Allo studente si chiede di discutere alcuni dei teoremi studiati e delle loro applicazioni.
Risulta ammesso alla prova orale chi riporta un voto maggiore o uguale a 15 alla prova scritta.
La prova orale deve essere sostenuta nell'ambito della stessa sessione d'esami della prova scritta, e comunque prima dell’inizio della successiva sessione.
Il voto finale tiene conto di entrambe le prove. Esso non è dato dalla media aritmetica tra il voto conseguito nella prova scritta e quello conseguito nella prova orale, bensì da una valutazione complessiva del livello di preparazione dello studente.
Nella sessione estiva ci sono almeno 2 possibilità di sostenere sia lo scritto che l'orale, le date vengono concordate in aula con gli studenti presenti a lezione. Nelle altre sessioni ci sono una o più possibilità di sostenere l'esame, dipendentemente dalle richieste degli studenti. Testi di riferimento
(1) Analisi matematica 2 di N. Fusco-P. Marcellini-C. Sbordone
(2) Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie di A. Malusa (Edizioni La Dotta)
(3) Equazioni differenziali ordinarie di L. Piccinnini-G. stampacchia-G. Vidossich
(4)Analisi 2 di Bramanti-Pagani-Salsa
(5) Equazioni Differenziali Ordinarie di V.I.Arnold
(6) Appunti del corso.
