PROBABILITA' E STATISTICA
Anno accademico e docente
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- English course description
- Anno accademico
- 2021/2022
- Docente
- GIACOMO DIMARCO
- Crediti formativi
- 9
- Periodo didattico
- Secondo Semestre
- SSD
- MAT/06
Obiettivi formativi
- Questo corso, della durata di 72 ore (9 cfu) di cui 48 ore di probabilità e 24 ore di statistica si svolge nel secondo semestre.
Il primo obiettivo del corso è portare lo studente a familiarizzare con la matematica degli eventi aleatori, soprattutto attraverso i problemi, rendendolo capace di inquadrare un problema reale in maniera corretta e quindi risolverlo autonomamente, utilizzando i teoremi studiati.
Il secondo obiettivo del corso, non per importanza ma per ordine temporale, è introdurre i primi elementi di statistica descrittiva ed inferenziale. E' infatti l'utilizzo congiunto delle tecniche provenienti dalle due discipline, probabilità e statistica, che trova applicazione nella interpretazione e risoluzione di svariati problemi provenienti dagli ambiti più disparati, dall'economia, alla biologia, alla medicina, alla farmacologia, al controllo di qualità nei processi produttivi, alla demografia.
Le principali conoscenze acquisite dagli studenti saranno:
- conoscenza delle misure di probabilità e delle loro principali caratteristiche
- conoscenza delle regole del calcolo combinatorio
- conoscenza del concetto di probabilità condizionata
- conoscenza del concetto di variabile aleatoria, densità, funzione di distribuzione, media e varianza di una variabile aleatoria
- conoscenza delle principali variabili aleatorie sia discrete che assolutamente continue
- conoscenza dei principali teoremi limite: leggi dei grandi numeri e teorema del limite centrale
- tecniche di statistica descrittiva per la rappresentazione grafica dei dati
- tecniche di statistica descrittiva per calcolare misure di sintesi di posizione, di variabilità e di forma
- conoscenza dei concetti di distribuzione campionaria di una statistica, stimatore, efficienza e non distorsione
conoscenza delle principali tecniche di statistica inferenziale: regressione lineare, test statistici di verifica delle ipotesi
- conoscenza dell’ambiente informatico per l’analisi statistica “R”
La principale abilità acquisita dagli studenti sarà quella di saper modellizzare problemi reali nel linguaggio del calcolo delle probabilità e della statistica, di rappresentare e sintetizzare informazione campionaria e di applicare tecniche inferenziali a supporto dei processi decisionali.
Nello specifico, le principali abilità acquisite dagli studenti saranno:
- saper definire misure di probabilità ed applicarne le proprietà
- saper operare con la probabilità condizionata, in particolare con la legge delle alternative e la formula di Bayes
- saper contare gli elementi di un insieme finito mediante le tecniche di calcolo combinatorio apprese
- saper riconoscere le variabili aleatorie, saper operare con le variabili aleatorie, calcolarne densità e distribuzione (sia congiunta che marginale), media e varianza
- saper inquadrare un processo di Bernoulli e fare previsioni sull'andamento del processo
- saper inquadrare un processo di Poisson e fare previsioni sull'andamento del processo
- saper applicare i teoremi limite in vari contesti
- riassumere l’informazione campionaria attraverso grafici e misure di sintesi e interpretare i risultati
- saper quantificare la correlazione lineare tra due variabili numeriche
- saper applicare il metodo di regressione lineare a partire da un insieme di dati osservati
- saper utilizzare i test di verifica di ipotesi
- saper utilizzare l’ambiente di analisi statistica R Prerequisiti
- E' necessario aver acquisito ed assimilato i contenuti degli insegnamenti di Analisi I e II
Contenuti del corso
- Il programma del corso è il seguente:
Elementi di Calcolo Combinatorio: principio fondamentale del calcolo combinatorio, permutazioni, combinazioni, coefficienti multinomiali, numero di soluzioni intere di un'equazione. (4 ore)
Elementi di Probabilità: Spazio campionario ed eventi, richiami di teoria degli insiemi, assiomi della probabilità. Spazi equiprobabili. Probabilità condizionata e eventi indipendenti. Fattorizzazione di eventi e formula di Bayes. (8 ore)
Variabili aleatorie discrete: densità discreta, funzione di ripartizione, valore atteso, varianza e momenti di ordine n. Funzioni di variabili aleatorie e valore atteso di una funzione di una variabile aleatoria. Variabili aleatorie di Bernoulli e binomiali, variabili aleatorie di Poisson, approssimazione di una binomiale per una Poisson. Variabili aleatorie geometriche, variabili aleatorie binomiali negative e variabili aleatorie ipergeometriche. Valore atteso della somma di variabili aleatorie. (8 ore)
Variabili aleatorie continue: densità, funzione di distribuzione, valore atteso, varianza e momenti di ordine n. Funzioni di variabili aleatorie continue e valore atteso di una funzione di una variabile aleatoria continua. Variabili aleatorie uniformi, variabili aleatorie normali, variabili aleatorie esponenziali, Approssimazione di una variabile aleatoria binomiale per una variabile aleatoria normale. Distribuzione di una funzione di una variabile aleatoria. (10 ore)
Leggi congiunte di variabili aleatorie: funzioni di distribuzione congiunte discrete e continue, distribuzione multinomiale, variabili aleatorie indipendenti, somma di variabili aleatorie indipendenti, somma di variabili aleatorie normali. Distribuzioni condizionate discrete e continue: cenni. Distribuzioni congiunte di variabili aleatorie. (8 ore)
Proprietà del valore atteso: prime proprietà, valore atteso della somma di variabili aleatorie. I momenti del numero di eventi che si realizzano. Covarianza, varianza di una somma e correlazioni. Valore atteso condizionato: cenni. Funzioni generatrici dei momenti. Funzione generatrice dei momenti congiunti. (5 ore)
Teoremi limite: Disuguaglianza di Markov, disuguaglianza di Chebyshev, legge debole e forte dei grandi numeri. Teorema del limite centrale. (5 ore)
- Statistica descrittiva (6 ore)
Rappresentazione grafica dei dati: istogrammi, poligoni di frequenze, diagrammi a settori circolari, diagrammi a barre, box-plot. Calcolo di misure di sintesi di posizione (media, mediana, moda, quartili), di variabilità (range, range interquartile, varianza, deviazione standard, coefficiente di variazione) e di forma (simmetria).
- Distribuzioni campionarie (2 ore).
Distribuzione campionaria di una statistica, stimatore e stima, efficienza e non distorsione.
- Test statistici (10 ore).
Principi generali. Intervalli di confidenza. Test Z e test t, a un campione e a due campioni, a una coda e a due code, p-value.
- Correlazione e Regressione lineare (6 ore).
La retta di regressione e il diagramma di dispersione. Il coefficiente di correlazione lineare. Il modello di regressione e la stima dei parametri. Il coefficiente di determinazione. L’analisi dei residui. Test sui parametri e sulla bontà del modello. Metodi didattici
- Lezioni teoriche ed esercitazioni. Le esercitazioni sono svolte in concertazione con gli studenti. In particolare si richiede agli studenti frequentanti di proporre soluzioni agli esercizi proposti.
Al termine di ogni argomento principale di statistica, verranno eseguite delle esercitazioni al computer, utilizzando l’ambiente per l’analisi statistica R. Durante queste esercitazioni verranno introdotti gli strumenti informatici necessari per applicare le metodologie statistiche apprese ad alcuni insiemi di dati reali. Modalità di verifica dell'apprendimento
- L'esame si articola in due prove:
- una prova scritta della durata di 3 ore in cui allo studente viene richiesto di risolvere alcuni esercizi di probabilità e statistica;
- una prova orale, in cui allo studente viene chiesto di rispondere a domande inerenti i contenuti teorici del corso.
Lo studente supera la prova scritta, e può quindi accedere alla prova orale, se prende almeno 15/30. Lo studente può sostenere più volte la prova scritta; nel momento in cui lo studente consegna un nuovo elaborato, si intende però che egli voglia rinunciare al voto conseguito nell’elaborato precedentemente consegnato. Il voto finale dell'esame tiene conto di entrambe le prove e dà un giudizio complessivo sull'impegno dello studente e sui risultati raggiunti. Testi di riferimento
- Per la parte di probabilità, appunti delle lezioni ed esercizi svolti in aula fanno riferimento ai seguenti testi (in ordine alfabetico):
- Baldi Paolo: Calcolo delle probabilità, seconda edizione, McGraw Hill, 2011
- Caravenna Francesco, Dai Pra Paolo: Probabilità. Un'introduzione attraverso modelli e applicazioni, Springer, 2013
- Dall'Aglio Giorgio: Calcolo delle probabilità, terza edizione, Zanichelli, 2003
- Ross Sheldon M.: Calcolo delle probabilità, seconda edizione, Apogeo, 2007
Per la parte di statistica, appunti delle lezioni ed esercizi svolti in aula fanno riferimento ai seguenti testi (in ordine alfabetico):
- N. Freed, S. Jones, T. Bergquist, S. Bonnini: Statistica per le scienze economiche e aziendali, 2019, Isedi
- Bonnini Stefano, Grassi Angela: Esercizi svolti di Statistica e Calcolo delle Probabilità, 2015, Voltalacarta
